V. Fonction paire, impaire

Cette section introduit les concepts de fonctions paires et impaires, qui sont des catégories importantes de fonctions avec des propriétés de symétrie spécifiques.

Une fonction paire est caractérisée par une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées dans sa représentation graphique.

Définition: Une fonction f est paire lorsque pour tout réel x de son ensemble de définition D, -x appartient à D et f(-x) = f(x).

Exemple: La fonction carré est un exemple de fonction paire. En effet, pour f(x) = x², on a f(-x) = (-x)² = x² = f(x).

Une fonction impaire, en revanche, est caractérisée par une symétrie par rapport à l'origine du repère dans sa représentation graphique.

Définition: Une fonction f est impaire lorsque pour tout réel x de son ensemble de définition D, -x appartient à D et f(-x) = -f(x).

Exemple: La fonction cube est un exemple de fonction impaire. Pour f(x) = x³, on a f(-x) = (-x)³ = -x³ = -f(x).

La fonction inverse est également un exemple de fonction impaire.

Ces propriétés de parité sont importantes car elles permettent de déduire rapidement certaines caractéristiques des fonctions, notamment leur comportement pour les valeurs négatives de x à partir de leur comportement pour les valeurs positives.

Méthode: Pour étudier la parité d'une fonction, on peut vérifier si f(-x) = f(x) (fonction paire) ou si f(-x) = -f(x) (fonction impaire) pour tout x dans l'ensemble de définition de la fonction.

La compréhension de ces concepts de parité est essentielle pour l'analyse des fonctions et leurs applications dans divers domaines des mathématiques et de la physique.

I. Les fonctions de référence : La fonction carré

La fonction carré est une fonction mathématique fondamentale définie sur l'ensemble des nombres réels R. Sa formule est f(x) = x², ce qui signifie que pour chaque valeur x, la fonction renvoie le carré de cette valeur.

La représentation graphique de la fonction carré est une parabole avec son sommet à l'origine (0,0) du repère. Cette courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, ce qui est une propriété importante de la fonction.

Définition: La fonction carré est définie sur R par f(x) = x².

Highlight: Dans un repère (O, I, J), la courbe d'équation y = x² de la fonction carré est appelée une parabole de sommet O.

Il est important de noter que la fonction carré n'est pas une fonction linéaire, car son tableau de valeurs n'est pas un tableau de proportionnalité. Cela signifie que la relation entre x et f(x) n'est pas une simple multiplication par un facteur constant.

Exemple: Pour comparer les images de différentes valeurs par la fonction carré, on peut utiliser la représentation graphique ou le calcul direct. Par exemple, f(0,5) < f(2) car 0,5² = 0,25 est inférieur à 2² = 4.

La symétrie de la courbe par rapport à l'axe des ordonnées est une propriété caractéristique de la fonction carré, ce qui en fait un exemple de fonction paire.