II. La fonction inverse

La fonction inverse est une autre fonction de référence importante en mathématiques. Elle est définie sur l'ensemble des nombres réels à l'exception de zéro, noté R{0} ou R*.

Définition: La fonction inverse est définie sur R{0} par f(x) = 1/x.

La représentation graphique de la fonction inverse est une hyperbole centrée à l'origine du repère. Cette courbe a deux branches qui s'approchent asymptotiquement des axes du repère sans jamais les toucher.

Highlight: Dans un repère (O, I, J), la courbe d'équation y = 1/x de la fonction inverse est une hyperbole de centre O.

Une propriété importante de la fonction inverse est qu'elle n'est pas définie pour x = 0, car la division par zéro n'est pas définie en mathématiques. Cela se traduit graphiquement par une discontinuité de la courbe à l'origine.

Propriété: La courbe de la fonction inverse est symétrique par rapport à l'origine du repère.

Cette symétrie par rapport à l'origine fait de la fonction inverse un exemple de fonction impaire, une propriété qui sera explorée plus en détail dans les sections suivantes.

III. La fonction racine carrée et IV. La fonction cube

Cette section présente deux autres fonctions de référence importantes : la fonction racine carrée et la fonction cube.

La fonction racine carrée est définie sur l'intervalle [0; +∞[, c'est-à-dire pour tous les nombres réels positifs ou nuls. Sa formule est f(x) = √x.

Définition: La fonction racine carrée est la fonction f définie sur [0; +∞[ par f(x) = √x.

Highlight: La fonction racine carrée n'est pas définie pour des valeurs négatives.

La fonction cube, quant à elle, est définie sur l'ensemble des nombres réels R. Sa formule est f(x) = x³.

Définition: La fonction cube est la fonction f définie sur R par f(x) = x³.

La représentation graphique de la fonction cube a une propriété de symétrie particulière :

Propriété: Dans un repère orthogonal, la courbe d'équation y = x³ de la fonction cube est symétrique par rapport au centre du repère (O).

Cette section compare également les positions relatives des courbes d'équations y = x, y = x² et y = x³. Pour des valeurs positives de x :

• Si x ≥ 1 : La courbe de y = x³ est au-dessus de celle de y = x², qui est elle-même au-dessus de y = x.
• Si 0 ≤ x ≤ 1 : L'ordre est inversé.

Ces relations sont démontrées mathématiquement en étudiant le signe des différences entre ces fonctions pour différentes valeurs de x.

V. Fonction paire, impaire

Cette section introduit les concepts de fonctions paires et impaires, qui sont des catégories importantes de fonctions avec des propriétés de symétrie spécifiques.

Une fonction paire est caractérisée par une symétrie par rapport à l'axe des ordonnées dans sa représentation graphique.

Définition: Une fonction f est paire lorsque pour tout réel x de son ensemble de définition D, -x appartient à D et f(-x) = f(x).

Exemple: La fonction carré est un exemple de fonction paire. En effet, pour f(x) = x², on a f(-x) = (-x)² = x² = f(x).

Une fonction impaire, en revanche, est caractérisée par une symétrie par rapport à l'origine du repère dans sa représentation graphique.

Définition: Une fonction f est impaire lorsque pour tout réel x de son ensemble de définition D, -x appartient à D et f(-x) = -f(x).

Exemple: La fonction cube est un exemple de fonction impaire. Pour f(x) = x³, on a f(-x) = (-x)³ = -x³ = -f(x).

La fonction inverse est également un exemple de fonction impaire.

Ces propriétés de parité sont importantes car elles permettent de déduire rapidement certaines caractéristiques des fonctions, notamment leur comportement pour les valeurs négatives de x à partir de leur comportement pour les valeurs positives.

Méthode: Pour étudier la parité d'une fonction, on peut vérifier si f(-x) = f(x) (fonction paire) ou si f(-x) = -f(x) (fonction impaire) pour tout x dans l'ensemble de définition de la fonction.

La compréhension de ces concepts de parité est essentielle pour l'analyse des fonctions et leurs applications dans divers domaines des mathématiques et de la physique.

Relative Positions (Page 5)

Analyzes the relative positions of linear, quadratic, and cubic functions.

Highlight: For x ≥ 1, y = x³ is above y = x², which is above y = x.

Example: Detailed mathematical proofs demonstrate these relationships for different intervals.

Even and Odd Functions (Page 6)

Explores the concepts of even and odd functions with practical examples.

Definition: An even function satisfies f(-x) = f(x), while an odd function satisfies f(-x) = -f(x).

Example: The square function is even, while the cube and inverse functions are odd.

Highlight: Geometric interpretations show symmetry about the y-axis for even functions and origin for odd functions.

Function Parity Method (Page 7)

Concludes with a practical method for studying function parity.

Example: Demonstrates how to prove that f(x) = 5x² + 3 is an even function.

Highlight: Shows the systematic approach to verifying function parity through algebraic manipulation.

I. Les fonctions de référence : La fonction carré

La fonction carré est une fonction mathématique fondamentale définie sur l'ensemble des nombres réels R. Sa formule est f(x) = x², ce qui signifie que pour chaque valeur x, la fonction renvoie le carré de cette valeur.

La représentation graphique de la fonction carré est une parabole avec son sommet à l'origine (0,0) du repère. Cette courbe est symétrique par rapport à l'axe des ordonnées, ce qui est une propriété importante de la fonction.

Définition: La fonction carré est définie sur R par f(x) = x².

Highlight: Dans un repère (O, I, J), la courbe d'équation y = x² de la fonction carré est appelée une parabole de sommet O.

Il est important de noter que la fonction carré n'est pas une fonction linéaire, car son tableau de valeurs n'est pas un tableau de proportionnalité. Cela signifie que la relation entre x et f(x) n'est pas une simple multiplication par un facteur constant.

Exemple: Pour comparer les images de différentes valeurs par la fonction carré, on peut utiliser la représentation graphique ou le calcul direct. Par exemple, f(0,5) < f(2) car 0,5² = 0,25 est inférieur à 2² = 4.

La symétrie de la courbe par rapport à l'axe des ordonnées est une propriété caractéristique de la fonction carré, ce qui en fait un exemple de fonction paire.