Le modèle exponentiel et l'approche de Malthus
III. Modèle exponentiel
1. Suite géométrique
On parle de croissance exponentielle lorsque le taux de variation de la population reste constant d'un palier à l'autre.
Dans ce cas:
- u(n+1) = q × u(n) (où q est la raison constante)
- u(n) = u(0) × q^n (formule explicite)
Formule importante: La formule u(n) = u(0) × q^n est le fondement du modèle de Malthus, permettant de calculer la valeur d'une population après n périodes lorsque celle-ci croît de manière exponentielle.
2. Ajustement d'une suite géométrique
En situation réelle, le taux de variation n'est pas exactement constant. Pour modéliser ces situations:
- On peut estimer le taux de variation moyen
- On peut calculer la raison q = u(n+1)/u(n)
- Pour n périodes: q = [u(n)/u(0)]^(1/n)
3. Temps de doublement
Le temps de doublement correspond au nombre d'années nécessaires pour qu'une population double. Ce temps est indépendant de la population initiale.
Exemple: Si une population augmente de 20% chaque année, on cherche le plus petit entier n tel que 1,2^n ≥ 2.
4. Modèle démographique de Malthus
Le modèle de Malthus repose sur:
- Le taux de natalité (t_n) et le taux de mortalité (t_m)
- Le taux d'évolution annuel t = t_n - t_m
- La raison q = 1 + t/1000 (si t est exprimé en ‰)
Deux scénarios possibles:
- Si t_n > t_m: la population tend vers l'infini (croissance logistique en réalité)
- Si t_m ≥ t_n: la population tend vers 0
Le principe de la suite géométrique consiste à multiplier n fois par la raison q la valeur initiale u(0).
Limites de la théorie malthusienne: Malthus n'a pas anticipé les progrès technologiques qui ont permis d'augmenter la production alimentaire ni les transitions démographiques qui ont réduit les taux de natalité dans les pays développés, remettant en question sa prédiction d'une catastrophe démographique inévitable.
