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ImJustLaura
28/07/2023
Maths
Les Nombres Réels
L'ensemble des nombres réels (R) englobe tous les points d'une droite graduée, incluant les nombres entiers, rationnels et irrationnels. Ce cours explore les différents ensembles numériques, les intervalles et la valeur absolue, fournissant une base solide pour la compréhension des nombres réels en mathématiques.
28/07/2023
1450
Cette partie approfondit la notion d'intervalles et introduit le concept de valeur absolue, crucial pour comprendre la distance entre les nombres réels.
Définition: R+ = [0 ; +∞[ représente l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls.
Vocabulaire: R* = R/{0} = ]-∞ ; 0[ U ]0 ; +∞[ représente l'ensemble des nombres réels non nuls.
Le cours explique la différence entre les intervalles fermés et ouverts, ainsi que les notations spécifiques pour les sous-ensembles de R comme R+, R-, R+* et R-*.
Définition: La valeur absolue d'un nombre réel x, notée |x|, est la distance de ce réel à 0 sur la droite numérique.
Exemple: |5| = |-5| = 5
Highlight: La distance entre deux réels a et b est égale à |a - b|.
Le chapitre se termine par une propriété importante reliant les intervalles et la valeur absolue :
Quote: L'intervalle [a-r, a+r] est l'ensemble des réels tels que |x-a| ≤ r.
Cette propriété est fondamentale pour résoudre des équations et inéquations impliquant des valeurs absolues.
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L'ensemble des nombres réels (R) englobe tous les points d'une droite graduée, incluant les nombres entiers, rationnels et irrationnels. Ce cours explore les différents ensembles numériques, les intervalles et la valeur absolue, fournissant une base solide pour la compréhension des nombres réels en mathématiques.
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Définition: R+ = [0 ; +∞[ représente l'ensemble des nombres réels positifs ou nuls.
Vocabulaire: R* = R/{0} = ]-∞ ; 0[ U ]0 ; +∞[ représente l'ensemble des nombres réels non nuls.
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Définition: La valeur absolue d'un nombre réel x, notée |x|, est la distance de ce réel à 0 sur la droite numérique.
Exemple: |5| = |-5| = 5
Highlight: La distance entre deux réels a et b est égale à |a - b|.
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Quote: L'intervalle [a-r, a+r] est l'ensemble des réels tels que |x-a| ≤ r.
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Ce chapitre présente les différents ensembles numériques, en commençant par l'ensemble vide et en progressant jusqu'à l'ensemble R des nombres réels. Il explique également les notions d'encadrement décimal et d'intervalles.
Définition: Un ensemble vide, noté Ø, est un ensemble ne contenant aucun élément.
Vocabulaire: L'ensemble N représente les nombres entiers naturels, Z les entiers relatifs, D les nombres décimaux, Q les nombres rationnels, et R les nombres réels.
Exemple: N = {0, 1, 2, 3, 4...}, Z = {...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3...}
Le cours introduit ensuite la notion d'encadrement décimal à 10^-n près, essentielle pour comprendre la précision des approximations numériques.
Highlight: Pour tout nombre réel x, il existe un nombre décimal d et un entier naturel n tel que : d < x < d + 10^-n.
Exemple: Encadrement de π à 10^-2 près : 3,14 < π < 3,15
La section sur les intervalles présente les différentes notations et représentations graphiques des intervalles sur la droite réelle.
Vocabulaire: Les crochets [ ] indiquent des intervalles fermés, tandis que les parenthèses ( ) indiquent des intervalles ouverts.
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