Loi binomiale et applications

Ce chapitre introduit la loi binomiale, une extension naturelle de la loi de Bernoulli pour des expériences répétées.

La loi binomiale B(n,p) modélise le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune ayant une probabilité de succès p.

Définition: Une variable aléatoire X suit une loi binomiale B(n,p) si elle compte le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p.

La probabilité d'obtenir exactement k succès est donnée par la formule :

P(X = k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k)

où C(n,k) est le coefficient binomial "k parmi n", représentant le nombre de façons de choisir k éléments parmi n.

Example: Dans 10 lancers d'une pièce équilibrée, la probabilité d'obtenir exactement 6 faces est P(X=6) = C(10,6) * (0,5)^6 * (0,5)^4.

Les propriétés importantes de la loi binomiale sont présentées :

• Espérance : E(X) = n * p
• Variance : V(X) = n * p * (1-p)
• Écart-type : σ(X) = √(n * p * (1-p))

Ces formules permettent d'analyser rapidement les caractéristiques d'une expérience binomiale sans calculer toute la distribution.

Highlight: La loi binomiale est particulièrement utile pour modéliser des situations de comptage de succès dans des expériences répétées, comme les contrôles de qualité ou les sondages.

Le document mentionne également l'utilisation de la calculatrice pour effectuer des calculs de probabilités binomiales, facilitant ainsi l'application pratique de ces concepts.

Vocabulary: Les coefficients binomiaux représentent le nombre de façons de choisir k éléments parmi n, et sont essentiels dans le calcul des probabilités binomiales.

En conclusion, ce chapitre fournit les outils nécessaires pour analyser des situations impliquant des épreuves de Bernoulli répétées, permettant ainsi d'aborder de nombreux problèmes pratiques en probabilités et statistiques.