Comprends la Probabilité: Événements Incompatibles, Bernoulli et Jeux de Hasard

Les probabilités, loi et épreuves de Bernoulli, loi binomiale

Matières

Maths

1 737

•

15 janv. 2023

•

3 pages

Comprends la Probabilité: Événements Incompatibles, Bernoulli et Jeux de Hasard

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Darling

@thebacinthepoche

La probabilité et la loi binomiale sont des concepts fondamentaux... Affiche plus

II.
●
Définitions
Soit A et B deux événements d'un univers
Réunion : L'événement A U B est l'ensemble des issues de 2 appartenant à A
ou B (

Loi de Bernoulli et variables aléatoires

Ce chapitre approfondit la notion d'épreuve de Bernoulli et introduit les concepts d'espérance et de variance pour les variables aléatoires.

La loi de Bernoulli est présentée comme la distribution de probabilité d'une variable aléatoire X prenant la valeur 1 en cas de succès $avec probabilité p$ et 0 en cas d'échec $avec probabilité 1-p$ .

Example: Dans un lancer de pièce équilibrée, X pourrait représenter le résultat avec X=1 pour "face" $p=0,5$ et X=0 pour "pile" $1-p=0,5$ .

L'espérance mathématique E $X$ et la variance V $X$ d'une variable aléatoire sont définies :

E $X$ = Σ x_i * P $X = x_i$ V $X$ = Σ $x_i - E(X$ )² * P $X = x_i$

Ces notions sont essentielles pour analyser le comportement moyen et la dispersion des résultats d'une expérience aléatoire.

Highlight: L'espérance mathématique représente la valeur moyenne attendue sur un grand nombre de répétitions de l'expérience.

Dans le contexte des jeux de hasard, l'espérance est interprétée comme le gain moyen à long terme :

Si E $X$ > 0, le jeu est favorable au joueur
Si E $X$ < 0, le jeu est favorable au maître du jeu
Si E $X$ = 0, le jeu est équitable

La variance et l'écart-type $σ(X$ = √V $X$ ) sont utilisés pour mesurer la dispersion des résultats autour de l'espérance, permettant ainsi de comparer le risque associé à différents jeux.

Vocabulary: La variance mesure la dispersion des valeurs d'une variable aléatoire autour de son espérance.

Loi binomiale et applications

Ce chapitre introduit la loi binomiale, une extension naturelle de la loi de Bernoulli pour des expériences répétées.

La loi binomiale B $n,p$ modélise le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune ayant une probabilité de succès p.

Définition: Une variable aléatoire X suit une loi binomiale B $n,p$ si elle compte le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p.

La probabilité d'obtenir exactement k succès est donnée par la formule :

P $X = k$ = C $n,k$ * p^k * $1-p$ ^ $n-k$

où C $n,k$ est le coefficient binomial "k parmi n", représentant le nombre de façons de choisir k éléments parmi n.

Example: Dans 10 lancers d'une pièce équilibrée, la probabilité d'obtenir exactement 6 faces est P $X=6$ = C $10,6$ * $0,5$ ^6 * $0,5$ ^4.

Les propriétés importantes de la loi binomiale sont présentées :

Espérance : E $X$ = n * p
Variance : V $X$ = n * p * $1-p$
Écart-type : σ $X$ = √ $n * p * (1-p$ )

Ces formules permettent d'analyser rapidement les caractéristiques d'une expérience binomiale sans calculer toute la distribution.

Highlight: La loi binomiale est particulièrement utile pour modéliser des situations de comptage de succès dans des expériences répétées, comme les contrôles de qualité ou les sondages.

Le document mentionne également l'utilisation de la calculatrice pour effectuer des calculs de probabilités binomiales, facilitant ainsi l'application pratique de ces concepts.

Vocabulary: Les coefficients binomiaux représentent le nombre de façons de choisir k éléments parmi n, et sont essentiels dans le calcul des probabilités binomiales.

En conclusion, ce chapitre fournit les outils nécessaires pour analyser des situations impliquant des épreuves de Bernoulli répétées, permettant ainsi d'aborder de nombreux problèmes pratiques en probabilités et statistiques.

Définitions et propriétés en probabilité

Ce chapitre présente les concepts fondamentaux de la théorie des probabilités, essentiels pour comprendre les événements aléatoires et leurs interactions.

La réunion et l'intersection d'événements sont expliquées, ainsi que les notions d'événements contraires et incompatibles. Ces définitions sont cruciales pour manipuler les probabilités de manière rigoureuse.

Définition: La réunion de deux événements A et B, notée A U B, est l'ensemble des issues appartenant à au moins l'un des deux événements.

Définition: L'intersection de deux événements A et B, notée A ∩ B, est l'ensemble des issues appartenant simultanément aux deux événements.

Les propriétés fondamentales des probabilités sont également présentées, notamment la formule de la probabilité de la réunion de deux événements :

P $A U B$ = P $A$ + P $B$ - P $A ∩ B$

Cette formule se simplifie dans le cas d'événements incompatibles :

Highlight: Pour des événements incompatibles A et B, P $A U B$ = P $A$ + P $B$

Le concept de probabilité conditionnelle est introduit, permettant de calculer la probabilité d'un événement sachant qu'un autre s'est réalisé :

P $A|B$ = P $A ∩ B$ / P $B$

Enfin, l'épreuve de Bernoulli est définie comme une expérience aléatoire à deux issues, "succès" et "échec", avec des probabilités respectives p et 1-p. Cette notion est fondamentale pour comprendre la loi binomiale et ses applications.

Vocabulary: Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues possibles, généralement appelées "succès" et "échec".

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

Stefan S

utilisateur iOS

Samantha Klich

utilisatrice Android

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

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Esteban M

utilisateur d'Android

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Leny

utilisateur d'Android

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Greenlight Bonnie

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La probabilité et la loi binomiale sont des concepts fondamentaux en mathématiques, essentiels pour comprendre les événements aléatoires et leurs résultats. Ce document explore les définitions clés, les propriétés des événements, l'épreuve de Bernoulli, et la loi binomiale, en mettant... Affiche plus

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Ce chapitre approfondit la notion d'épreuve de Bernoulli et introduit les concepts d'espérance et de variance pour les variables aléatoires.

Example: Dans un lancer de pièce équilibrée, X pourrait représenter le résultat avec X=1 pour "face" $p=0,5$ et X=0 pour "pile" $1-p=0,5$ .

L'espérance mathématique E $X$ et la variance V $X$ d'une variable aléatoire sont définies :

E $X$ = Σ x_i * P $X = x_i$ V $X$ = Σ $x_i - E(X$ )² * P $X = x_i$

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Si E $X$ > 0, le jeu est favorable au joueur
Si E $X$ < 0, le jeu est favorable au maître du jeu
Si E $X$ = 0, le jeu est équitable

La variance et l'écart-type $σ(X$ = √V $X$ ) sont utilisés pour mesurer la dispersion des résultats autour de l'espérance, permettant ainsi de comparer le risque associé à différents jeux.

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La loi binomiale B $n,p$ modélise le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune ayant une probabilité de succès p.

Définition: Une variable aléatoire X suit une loi binomiale B $n,p$ si elle compte le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes de paramètre p.

La probabilité d'obtenir exactement k succès est donnée par la formule :

P $X = k$ = C $n,k$ * p^k * $1-p$ ^ $n-k$

où C $n,k$ est le coefficient binomial "k parmi n", représentant le nombre de façons de choisir k éléments parmi n.

Example: Dans 10 lancers d'une pièce équilibrée, la probabilité d'obtenir exactement 6 faces est P $X=6$ = C $10,6$ * $0,5$ ^6 * $0,5$ ^4.

Les propriétés importantes de la loi binomiale sont présentées :

Espérance : E $X$ = n * p
Variance : V $X$ = n * p * $1-p$
Écart-type : σ $X$ = √ $n * p * (1-p$ )

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Définition: L'intersection de deux événements A et B, notée A ∩ B, est l'ensemble des issues appartenant simultanément aux deux événements.

Les propriétés fondamentales des probabilités sont également présentées, notamment la formule de la probabilité de la réunion de deux événements :

P $A U B$ = P $A$ + P $B$ - P $A ∩ B$

Cette formule se simplifie dans le cas d'événements incompatibles :

Highlight: Pour des événements incompatibles A et B, P $A U B$ = P $A$ + P $B$

Le concept de probabilité conditionnelle est introduit, permettant de calculer la probabilité d'un événement sachant qu'un autre s'est réalisé :

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