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Distributions de Probabilités et Variables Aléatoires

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Maths837Mis à jour 6 oct. 20262 pages

Probabilités en Terminale - Loi Binomiale et Révisions

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Emma@thomann_uozo
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Les probabilités peuvent sembler compliquées, mais elles suivent des règles logiques simples ! Tu vas découvrir les formules essentielles des probabilités conditionnelles et les variables aléatoires, deux concepts clés pour ton bac.
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Les probabilités conditionnelles et variables aléatoires

Imagine que tu veuilles calculer la probabilité qu'il pleuve sachant que le ciel est nuageux. C'est exactement ce que fait la probabilité conditionnelle !

La formule magique est : P_A(B) = P(A ∩ B) / P(A). Ça signifie "probabilité de B sachant que A s'est produit". Pour calculer P(A ∩ B), tu multiplies simplement P(A) × P_A(B).

Les variables aléatoires comme X prennent différentes valeurs avec des probabilités données. L'astuce : toutes les probabilités doivent toujours additionner à 1 p1+p2+p3=1p₁ + p₂ + p₃ = 1.

Tu peux calculer l'espérance E(X) (la moyenne attendue) en multipliant chaque valeur par sa probabilité. La variance V(X) mesure la dispersion, et l'écart-type σ(X) est simplement √V(X). Un jeu est équitable quand E(X) = 0 !

Astuce exam : Vérifie toujours que tes probabilités s'additionnent à 1 - c'est un piège classique !

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La loi binomiale en pratique

Tu passes un QCM de 6 questions avec 4 choix par question ? Perfect exemple de loi binomiale ! Chaque question est une épreuve de Bernoulli indépendante.

Ici, la probabilité de réussir une question au hasard est P(S) = 0,25 (1 chance sur 4). La variable X qui compte tes bonnes réponses suit une loi binomiale avec n = 6 et p = 0,25.

La formule clé : PX=kX = k = (n k) × p^k × 1−p1-p^n−kn-k. Le coefficient binomial (n k) compte le nombre de façons d'avoir k succès sur n tentatives.

Pour calculer rapidement, retiens que E(X) = n × p. Dans notre exemple : E(X) = 6 × 0,25 = 1,5 bonnes réponses attendues. Pour P(X ≥ 5), utilise l'astuce : P(X ≥ 5) = 1 - P(X < 5).

Conseil pratique : La loi binomiale s'applique dès que tu répètes la même expérience plusieurs fois de façon indépendante !

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