Sens de variation et limites des suites numériques
Le sens de variation d'une suite est un aspect crucial pour comprendre son comportement. Une suite peut être croissante, décroissante, ou ni l'une ni l'autre.
Définition: Soit p un entier et un une suite numérique.
- La suite un est croissante à partir du rang p si pour n ≥ p, on a un+1 ≥ un.
- La suite un est décroissante à partir du rang p si pour n ≥ p, on a un+1 ≤ un.
Pour étudier le sens de variation d'une suite un+1, on peut utiliser plusieurs méthodes :
- Comparer un+1 - un
- Étudier le quotient un+1 / un
- Si un = gn, étudier le signe de g'x
Ces méthodes sont souvent utilisées dans les exercices corrigés PDF sur le sens de variation d'une suite.
La notion de limite d'une suite est fondamentale pour comprendre son comportement à long terme.
Exemple: Considérons la suite définie par un = 2n+1/n+1. En calculant les premiers termes, on observe :
u1 = 3/2 = 1,5
u2 = 5/3 ≈ 1,67
u10 = 21/11 ≈ 1,91
u100 = 201/101 ≈ 1,99
u500 = 1001/501 ≈ 1,998
Plus n devient grand, plus les termes de la suite semblent se rapprocher de 2. On dit que la suite un converge vers 2, ou que la limite d'une suite convergente est 2.
Highlight: La limite d'une suite terminale est un concept crucial en mathématiques, souvent étudié en détail dans les cours de Terminale PDF sur les suites numériques.
À l'inverse, une suite peut diverger, soit vers l'infini, soit en oscillant sans se stabiliser.
Vocabulary: Une suite qui diverge vers l'infini est une suite dont les termes deviennent arbitrairement grands lorsque n augmente.
La compréhension de ces concepts est essentielle pour résoudre des exercices corrigés sur les limites de suites, que ce soit pour des suites géométriques ou d'autres types de suites.
