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Apprends la Récurrence et les Suites: Exercices Corrigés Simples

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Les suites mathématiques sont un concept fondamental en analyse, avec des applications importantes dans divers domaines. Ce document explore les propriétés et techniques essentielles pour comprendre et manipuler les suites, en mettant l'accent sur les démonstrations par récurrence, les propriétés des suites arithmétiques et géométriques, ainsi que la convergence des suites géométriques explicites.

• Les types de suites abordés incluent les suites arithmétiques et géométriques, avec leurs formes explicites et propriétés spécifiques.
• Les techniques de démonstration par récurrence sont expliquées en détail, avec des exemples concrets.
• Les méthodes pour étudier les variations et les limites des suites sont présentées, y compris les cas particuliers et les théorèmes importants.
• Des algorithmes pour le calcul des termes de suites et la détermination de seuils sont également fournis.

20/06/2023

1884

Démonstration par récurrence exemple: (Un) UO = 2 Un+1 = 3Un - 2 • On note la propriété P(n) : « pour tout n entier naturel : Un = 3 + 1 Ini

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Page 2 : Types de suites et leurs limites

Cette page détaille les deux principaux types de suites : arithmétiques et géométriques, ainsi que leurs limites.

Les suites arithmétiques ont une forme explicite Uₙ = Uₚ + (n-p-1)r, où r est la raison. La somme des termes est donnée par (n-p+1) × (Uₚ + Uₙ)/2.

Definition: Formule de récurrence suite arithmétique : Uₙ₊₁ = Uₙ + r, où r est la raison constante entre deux termes consécutifs.

Les suites géométriques ont une forme explicite Uₙ = Uₚ × qⁿ⁻ᵖ, où q est la raison. La somme des termes dépend de q : si q ≠ 1, Uₚ × (1-qⁿ⁻ᵖ⁺¹)/(1-q) ; si q = 1, (n-p+1) × Uₚ.

Example: Suite arithmétique exercice corrigé : Pour une suite arithmétique de raison r > 0, Uₙ est croissante et diverge vers +∞.

Pour les suites récurrentes, on utilise souvent la méthode du point fixe pour déterminer la limite. Si f est continue et Uₙ converge vers L, alors L est solution de l'équation f(x) = x.

Highlight: Théorème de convergence monotone suite : Une suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) converge.

Démonstration par récurrence exemple: (Un) UO = 2 Un+1 = 3Un - 2 • On note la propriété P(n) : « pour tout n entier naturel : Un = 3 + 1 Ini

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Page 3 : Limites et théorèmes de comparaison

Cette page aborde les limites de référence, les théorèmes de comparaison, et les propriétés des suites bornées.

Definition: Définition convergence d'une suite : Une suite (Uₙ) converge vers L si, pour tout ε > 0, il existe un rang N tel que pour tout n ≥ N, |Uₙ - L| < ε.

Les limites de référence incluent lim √n = +∞, lim eⁿ = +∞, lim n = +∞, et lim n² = +∞ quand n tend vers l'infini.

Le théorème de comparaison stipule que si Uₙ ≥ Vₙ à partir d'un certain rang et lim Vₙ = +∞, alors lim Uₙ = +∞.

Highlight: Une suite décroissante et minorée converge : C'est une application directe du théorème de convergence monotone.

Le théorème des gendarmes est un outil puissant pour déterminer la limite d'une suite encadrée par deux autres suites convergentes.

Example: Suite convergente vers l : Si Vₙ ≤ Uₙ ≤ Wₙ à partir d'un certain rang, et lim Vₙ = lim Wₙ = l, alors lim Uₙ = l.

Démonstration par récurrence exemple: (Un) UO = 2 Un+1 = 3Un - 2 • On note la propriété P(n) : « pour tout n entier naturel : Un = 3 + 1 Ini

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Page 4 : Convergence et algorithmes

Cette dernière page traite de la convergence des suites monotones et présente des algorithmes pour calculer les termes d'une suite.

Highlight: Suite convergente vers l : Une suite croissante et majorée converge, de même qu'une suite décroissante et minorée.

Des algorithmes en Python sont présentés pour calculer les termes d'une suite et pour déterminer le seuil à partir duquel une suite dépasse une valeur donnée.

Example: Raisonnement par récurrence dans la vie de tous les jours : L'algorithme de calcul d'un terme de suite peut être vu comme une application pratique du raisonnement par récurrence.

def suite(n):
    U = 14
    for i in range(n):
        U = 5*U - 6
    return U

Cet algorithme calcule le n-ième terme d'une suite définie par récurrence.

Vocabulary: Seuil : Valeur à partir de laquelle une suite dépasse une certaine limite, souvent utilisée dans les problèmes de convergence.

Démonstration par récurrence exemple: (Un) UO = 2 Un+1 = 3Un - 2 • On note la propriété P(n) : « pour tout n entier naturel : Un = 3 + 1 Ini

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Page 1 : Démonstration par récurrence et variations des suites

Cette page introduit la démonstration par récurrence et les méthodes pour étudier les variations des suites.

Exemple: Une suite définie par U₀ = 2 et Uₙ₊₁ = 3Uₙ - 2 est démontrée par récurrence pour prouver que Uₙ = 3ⁿ + 1 pour tout n entier naturel.

La démonstration par récurrence comprend deux étapes principales : l'initialisation et l'hérédité.

Highlight: Pour étudier les variations d'une suite, on peut comparer Uₙ avec Uₙ₊₁, étudier le signe de Uₙ₊₁ - Uₙ, ou analyser le rapport Uₙ₊₁/Uₙ pour les termes positifs.

Pour les suites arithmétiques, la raison r détermine la monotonie : croissante si r > 0, décroissante si r < 0, et constante si r = 0. Pour les suites géométriques, la raison q et le premier terme U₀ influencent la monotonie.

Vocabulary: Suite par récurrence exemple : Une suite définie par une relation entre deux termes consécutifs, comme Uₙ₊₁ = f(Uₙ).

Rien ne te convient ? Explore d'autres matières.

Knowunity est la meilleure application scolaire dans cinq pays européens.

Knowunity a été mis en avant par Apple et a toujours été en tête des classements de l'App Store dans la catégorie Éducation en Allemagne, en Italie, en Pologne, en Suisse et au Royaume-Uni. Rejoins Knowunity aujourd'hui et aide des millions d'étudiants à travers le monde.

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Knowunity est la meilleure application scolaire dans cinq pays européens.

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Note moyenne de l'appli

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Les élèsves utilisent Knowunity

#1

Dans les palmarès des applications scolaires de 12 pays

950 K+

Les élèves publient leurs fiches de cours

Tu n'es toujours pas convaincu ? Regarde ce que disent les autres élèves ...

Louis B., utilisateur iOS

J'aime tellement cette application [...] Je recommande Knowunity à tout le monde ! !! Je suis passé de 11 à 16 grâce à elle :D

Stefan S., utilisateur iOS

L'application est très simple à utiliser et bien faite. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais :D

Lola, utilisatrice iOS

J'adore cette application ❤️ Je l'utilise presque tout le temps pour réviser.

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Les suites arithmétiques ont une forme explicite Uₙ = Uₚ + (n-p-1)r, où r est la raison. La somme des termes est donnée par (n-p+1) × (Uₚ + Uₙ)/2.

Definition: Formule de récurrence suite arithmétique : Uₙ₊₁ = Uₙ + r, où r est la raison constante entre deux termes consécutifs.

Les suites géométriques ont une forme explicite Uₙ = Uₚ × qⁿ⁻ᵖ, où q est la raison. La somme des termes dépend de q : si q ≠ 1, Uₚ × (1-qⁿ⁻ᵖ⁺¹)/(1-q) ; si q = 1, (n-p+1) × Uₚ.

Example: Suite arithmétique exercice corrigé : Pour une suite arithmétique de raison r > 0, Uₙ est croissante et diverge vers +∞.

Pour les suites récurrentes, on utilise souvent la méthode du point fixe pour déterminer la limite. Si f est continue et Uₙ converge vers L, alors L est solution de l'équation f(x) = x.

Highlight: Théorème de convergence monotone suite : Une suite croissante et majorée (ou décroissante et minorée) converge.

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Definition: Définition convergence d'une suite : Une suite (Uₙ) converge vers L si, pour tout ε > 0, il existe un rang N tel que pour tout n ≥ N, |Uₙ - L| < ε.

Les limites de référence incluent lim √n = +∞, lim eⁿ = +∞, lim n = +∞, et lim n² = +∞ quand n tend vers l'infini.

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    U = 14
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Exemple: Une suite définie par U₀ = 2 et Uₙ₊₁ = 3Uₙ - 2 est démontrée par récurrence pour prouver que Uₙ = 3ⁿ + 1 pour tout n entier naturel.

La démonstration par récurrence comprend deux étapes principales : l'initialisation et l'hérédité.

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Pour les suites arithmétiques, la raison r détermine la monotonie : croissante si r > 0, décroissante si r < 0, et constante si r = 0. Pour les suites géométriques, la raison q et le premier terme U₀ influencent la monotonie.

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