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4. machs I.ETUDE DE SUITES LES SUITES Relation de récurrence Définition: • Une suite numérique est une fonction définie sur N (l'ens- emble des entiers naturels), ou sur l'intervalle I de N- On peut noter une suite (un) nEI (Iétant l'ensemble de défini- tion de la suite). Le Rème de la suite il est note Un, le N+jemne Unti, etc. . 2 manières de definir une suite * Sens de variation: Une suite eat croissante si et seulement si pour tout in єI: Ип биоті II. SUITES ARITHMÉTIQUES PAGE 1 Relation de récurrence: U₁+1=U₁+r ∙nti Formule explicite : U₁₂ = U₂₁ + nr * Remarques: Une suite est décroissante si et seulement si pour tout n €I: Un > Unti Définition: que Une suite u eat dite arithmétique s'il existe rEIR tel pour tout nEI Unti = Un tr Le réel r eat la raison de la suite. Une suite arithmétique eat: CONSTANTE si r=0 Formule explicite ● La formule explicite se généralize : U₂ = Up + (n-p)r • Une suite arithmétique est une fonction affine définie Sur N (représentation graphique). * Sens de variation: STRICTEMENT CROISSANTE STRICTEMENT DECROISSANTE si r yo sir <0 PAGE SUIVANTE Ji LES SUITES *Somme de termea: Somme de tous les termea: n (₁+1) EUR R=1 = U₁ + U₂ + ... + Un = 2 2 → Samme a partir d'un rang p: ΣUR = Up + Up₁i+---+ Un = (2-p+1)x Up + Un Ирн ... R=P 2 III. SUITES GEOMETRIQUES a Définition: que • Une suite u eat dite géométrique s'il existe q € IR tel pour tout n...

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€ I : Un+₁ = Un x q Le réel 9 eat la raison de la suite Relation de récurrence: Unt₁ = Unxq Formule esplicite : Un = U₂ xq² * Remarque : • La formule explicite se généralise : Un = Upx qR-P * Sens de variation: → Silo: u eat... STRICTEMENT CROISSANTE si q> 1 STRICTEMENT DÉCROISSANTE si 0 <q < 1 → Si U₂ <o: U eat... STRICTEMENT DÉCROISSANTE si q> 1 STRICTEMENT CROISSANTE si 059 <1 → Si g <0, la suite eat dite alternée * Somme de termes: (pour q#1) → Somme de tous les termea: M •ΣUR = U₁ + U₁ + ... + Un = U₁ R-C 1-qnti 1-9 → Somme à partir d'un rang ps M EUR = Up+Up+₁ + k=P PAGE 2 + ... + Un = Upx 1-qh-p+t 1-9 CONSTANTE Si q=0 (tous les termes = 0) ou si q=1 CONSTANTE ai q=0 (tous les termes=0) ou si q = 1. PAGE SUIVANTE Di Di LES SUITES IV. SUITES ARITHMETICO-GEOMETRIQUES Définition: Une suite u eat dite arithmético-géométrique s'il b eseiate a EIR et & EIR tel que pour tout m € I Unt₁ = al₂ + 1₂ ♥ Remarques : •Une suite arithmétique eat une suite arithmético-géométrique pour laquelle a=1₁ • Une suite géométrique est une suite arithmético-géométrique pour laquelle b=0. Recherche de la formule explicite d'une suite arithmético-géo- métrique u: 1) On construit une suite géométrique V telle que U₂ = U₁² x (XER) 2) On exprime in en fonction de n (formule explicite). 3) On en déduit l'expression de Un I. RAISONNEMENT PAR RECURRENCE Définition: • Le raisonnement par récurrence permet de démontrer certaines propriétés de suites a partir de leur relation de récurrence. ● PAGE 3 Par ailleurs, ce raisonnement n'est pas uniquement valable pour les aui tea. ETAPE 1: initialisation: Buncipe de récurrence: Soit une proposition Pr dépendant d'un entier n (son rang) Pour démontrer que Por eat vraie pour tout entier n> no, it suffit de démontrer que: la proposition Pro est vraie. ÉTAPE 2: L'hérédité : ១ ai PR eat vraie, alors PR+, eat vraie PAGE SUIVANTE 9. LES SUITES VT. LIMITES DE SUITES Convergence •Si une suite a une limite. finie: elle est convergente. •Sinon, elle eat diver- gente (infinie ou abscence) D Lim n = + ∞o n->+∞ * Limite d'une suite arithmétique: Sir 10: alors la suite tend vers +∞0. • Si r<o: alora la suite tend vera -∞o * Limite d'une suite géométrique: -Si q> 1 et si lo > 0: la suite tend vers + ∞0 (divergente) -Si q> 1 et si l. <o: la suite tend vera -∞o (divergenta) -Si0kg <1: la suite tend vera 0 (convergente) -Si q<o: la suite n'a pas de limite (divergente) * Limites de suites usuelles: Lim n² = +∞0 (p>0) Lim 1 8 8448 8478 Lim n-Stoom 23T Lim 8+8 Lim √n=+∞o Lim m² = +∞0 8-48 1 MP Unicité de la Luite • Li une suite eat. convergente, alors elle ad- met une unique limite. 1 Lum n>+60 m² PAGE 4 = O =0 (p>0)| Lim R = R n→ +∞0 Lim m³ = +00 8448 | Lim 1 = 846 m *Theoremes de comparaison de limites: • Soient 2 suitea M et V de limites respectives let l'. Si a partir d'un certain rang Un > Un alors exe'. →→→Si lim Un = -00 alors lim V₁ = = ∞o n+∞ n-x+co O • Soient 2 suites let v telle que Un > Un a partir d'un certain rang. → Si lim V₁₂₁₂ = +∞o alors lim 1₁₂₁ = +00 n 8478 8748 7 *Théorème de convergence monotone. •Si une suite eat croissante et majorée, alors elle est convergente (avec 15M) PAGE SUIVANTE •Si une suite eat décroissante et minorée, alors elle est convergente (avec l>m) 9. Di LES SUITES * Bropriété pour les suitea monotones non harnées: •Si une suite u eat croissante et non majorée alors Lim U₁₂ = +00 di une suite u eat décroissante et non minorée alors Lim U₁ = -00, * Théorème des gendarmes : →Soient un réel let troia suites M, V et W telles qu'à partir d'un certain rang Un Un KWA. L> Si Lim Un= l et Lim W₁ = C alors Lim U₂₁ = e 84+8 * Operations sur lea limitea: SOMMES: PRODUITS: QUOTIENTS: (u) Lim Vn 8-448 e' Lim Un 846 +00 Lim Vn IN446 Lum Vn 5146A Lim Un 14400 78 + Lim Un 7→+80 l' l'>0 e l'<o 0+ O e e+ e +00-0 +∞0 -∞ F.I. e' e'xo exe' exe' 0 e' e'<o exe' exe' o O O O +00-00 F.I. +∞o F.I. +∞0 e e exoe<o +∞o F.I. e' e е +00 e e eso e<o его e 8 - O PAGE 5 F.I. - Forme 88 +∞F. I. 0 O +∞-∞ +∞-∞ ·∞0+00 O F.I.F.I. +∞0-00 8 0 +00 indéterminée e O +8 e' e e O -∞0 F.I. +00 +∞ -∞ 88 +0 8 7 -∞∞ F.I. F.I. F.I. F.I. Di

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