Tableau de Variations

Le tableau de variation d'une fonction est un outil qui résume les variations d'une fonction en identifiant les intervalles où elle est monotone (strictement croissante ou strictement décroissante).

Exemples de tableaux de variation:

1. Pour une fonction f avec les caractéristiques suivantes:
   • Croissante sur l'intervalle [0; 2,5]
   • Décroissante sur l'intervalle [2,5; 5]
   • Valeurs: f(0) = 0, f(2,5) = 6,25 et f(5) = 0

x      | 0      | 2,5    | 5
----------------------------
f(x)   | 0      | 6,25   | 0
       |    ↗    |    ↘   |

2. Pour une fonction f représentée graphiquement:
   • Ensemble de définition: E = $-5; 7$
   • Variations:
     • Décroissante sur $-5; -4$ et [0; 5]
     • Croissante sur $-4; 0$ et [5; 7]
   • Extremums:
     • Maximum: 3,5
     • Minimum: -4

Concept Clé Pour dresser un tableau de variation à partir d'une fonction, il faut déterminer les intervalles de croissance et de décroissance (souvent en étudiant le signe de la dérivée), puis noter les valeurs aux bornes et aux points critiques.

Le tableau de variation permet de visualiser facilement si la fonction atteint des extremums (maximums ou minimums) sur son domaine de définition.

Comment faire un tableau de variation avec la dérivée:

• Calculer la dérivée de la fonction
• Étudier le signe de la dérivée
• La fonction est croissante quand f'$x$ > 0
• La fonction est décroissante quand f'$x$ < 0

Cet outil est particulièrement utile pour les exercices corrigés en Terminale.

Construction du Tableau de Variation Complet

Pour finaliser l'analyse d'une fonction, nous devons résumer toutes les informations dans un tableau de variation structuré. Pour l'exemple de la fonction graphique précédente, voici le tableau complet:

x      | -5     | -4     | 0      | 5      | 7 ------------------------------------------------
f(x)   | 2      | -4     | 3,5    | -2,5   | -1
       |    ↘    |    ↗    |    ↘    |    ↗    |

Ce tableau nous montre clairement:

• Les points où la fonction change de variation
• Les valeurs de la fonction à ces points
• Le sens de variation entre ces points

Astuce Pratique Pour créer un tableau de variation en ligne avec des outils comme GeoGebra, entrez d'abord la fonction, puis utilisez l'outil d'analyse pour générer automatiquement le tableau de variation.

Points importants pour interpréter un tableau de variation:

• Les flèches ↗ indiquent les intervalles où la fonction est croissante
• Les flèches ↘ indiquent les intervalles où la fonction est décroissante
• Les valeurs maximales se trouvent aux sommets des flèches montantes puis descendantes
• Les valeurs minimales se trouvent aux sommets des flèches descendantes puis montantes

De nombreux exercices corrigés PDF sur les tableaux de variation sont disponibles en ligne pour pratiquer cette compétence essentielle en mathématiques.

Le signe de a dans l'expression d'une fonction (comme f$x$ = ax² + bx + c) influence directement le sens de variation et donc l'allure du tableau.