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Cours Complet sur les Vecteurs et Translation - Exercice Corrigé & PDF

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19/06/2023

Maths

Les vecteurs

Cours Complet sur les Vecteurs et Translation - Exercice Corrigé & PDF

Les vecteurs et les translations sont des concepts mathématiques fondamentaux qui permettent de décrire les déplacements dans le plan et l'espace.

La translation de vecteur AB est une transformation géométrique qui déplace chaque point du plan selon une même direction, un même sens et une même distance. Pour comprendre ce concept, imaginons qu'on fait glisser une figure sans la tourner ni la déformer. L'image d'un point par translation de vecteur conserve toutes les propriétés géométriques de la figure initiale : les longueurs, les angles et le parallélisme sont préservés.

Les vecteurs colinéaires sont des vecteurs qui ont la même direction ou des directions opposées. Cette notion est essentielle pour comprendre les opérations sur les vecteurs, notamment la multiplication d'un vecteur par un nombre réel et l'addition vectorielle. Dans le cadre des exercices corrigés PDF disponibles, on retrouve de nombreuses applications pratiques comme le calcul de coordonnées après translation, la détermination de vecteurs équivalents, ou encore la résolution de problèmes géométriques complexes. Les propriétés des vecteurs incluent la commutativité et l'associativité de l'addition, ainsi que la distributivité de la multiplication par un scalaire.

L'étude des vecteurs et des translations s'approfondit progressivement de la quatrième à la seconde. En classe de quatrième, on introduit les notions de base avec des exercices simples de construction et de calcul. En troisième, on développe les applications avec l'étude des transformations du plan. En seconde, on aborde des concepts plus avancés comme les vecteurs dans un repère et leurs applications dans la résolution de problèmes géométriques complexes. Cette progression permet aux élèves de maîtriser graduellement ces outils mathématiques essentiels.

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19/06/2023

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TRANSLATION ET VECTEURS
Activités de groupe : La Translation (Partie1):
http://www.maths-et-tiques.fr/telech/trans_gr1.pdf
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Les Translations et Vecteurs en Mathématiques

La Translation et vecteur 4ème exercice Corrigé commence par comprendre le concept fondamental de la translation. Une translation représente un déplacement géométrique caractérisé par trois éléments essentiels : une direction précise, un sens déterminé et une distance fixe.

Pour illustrer ce concept, prenons l'exemple d'un téléphérique. Lorsqu'un téléphérique se déplace le long d'un câble, il effectue une translation parfaite. Le câble définit la direction, le mouvement de bas en haut détermine le sens, et la distance parcourue correspond à la longueur du déplacement.

Définition: Une translation est une transformation géométrique qui déplace chaque point d'une figure selon une même direction, un même sens et une même distance, sans modification de la forme ou des dimensions de la figure.

Dans le contexte des Vecteurs et translation exercice corrigé PDF, la translation est intimement liée au concept de vecteur. Un vecteur est caractérisé par les mêmes trois composantes qu'une translation : direction, sens et longueur aussiappeleˊenormeaussi appelée norme.

I.
TRANSLATION ET VECTEURS
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Construction et Propriétés des Vecteurs

La Translation et vecteur seconde exercice Corrigé met en évidence la relation entre points et vecteurs. Lorsqu'on effectue une translation qui transforme un point A en un point A', on définit un vecteur noté AA'.

Exemple: Pour construire l'image d'une figure par translation, on applique le même déplacement me^medirection,sensetlongueurmême direction, sens et longueur à tous les points de la figure initiale.

Les Propriétés des vecteurs PDF montrent que deux vecteurs sont égaux s'ils partagent la même direction, le même sens et la même longueur. Cette propriété est fondamentale pour comprendre les Opération sur les vecteurs PDF.

I.
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Applications et Constructions Vectorielles

Dans le cadre des Cours complet sur les vecteurs PDF, on apprend que la construction de l'image d'une figure par translation nécessite une méthode rigoureuse. Pour chaque point de la figure initiale, on applique le vecteur de translation pour obtenir son image.

Astuce: Pour construire l'image d'un point par une translation de vecteur donné, utilisez la propriété du parallélogramme : si AB = CD, alors ABDC forme un parallélogramme.

Les Vecteurs colinéaires jouent un rôle particulier dans ces constructions. Deux vecteurs sont colinéaires lorsqu'ils ont la même direction ou des directions opposées.

I.
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Propriétés Avancées et Applications Pratiques

Le Cours sur les vecteurs 4ème PDF approfondit les propriétés des vecteurs avec la notion de parallélogramme. Cette propriété établit que si AB = CD, alors le quadrilatère ABDC est nécessairement un parallélogramme eˊventuellementaplatiéventuellement aplati.

Remarque: La Multiplication vecteur par vecteur et autres opérations vectorielles s'appuient sur ces propriétés fondamentales.

Les applications pratiques des vecteurs et translations sont nombreuses, notamment en physique et en informatique graphique. La Translation de vecteur AB permet de modéliser des mouvements et des transformations dans l'espace.

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Les Propriétés Fondamentales des Vecteurs et leurs Applications

Les vecteurs colinéaires et leurs propriétés constituent un élément fondamental de la géométrie vectorielle. Le milieu d'un segment ACAC se caractérise par l'égalité des vecteurs AB et BC, une propriété essentielle pour comprendre la translation de vecteur AB.

Un vecteur nul se définit lorsque ses points d'origine et d'extrémité sont confondus. Pour tout point M, le vecteur MM est nul, noté MM = 0. Cette notion est cruciale pour comprendre les opérations sur les vecteurs.

Définition: Un vecteur AB est nul si et seulement si les points A et B sont confondus, ce qui s'écrit AB = 0.

Les vecteurs opposés représentent un concept clé dans l'étude des propriétés des vecteurs PDF. Deux vecteurs sont opposés lorsqu'ils partagent la même direction et longueur mais ont des sens contraires. Il est essentiel de ne pas confondre la direction deˊfinieparunedroitedéfinie par une droite et le sens orientationsurcettedroiteorientation sur cette droite.

Remarque: Pour deux points A et B, les vecteurs AB et BA sont opposés, ce qui s'écrit BA = -AB.

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La Somme Vectorielle et la Relation de Chasles

La somme de vecteurs est fondamentale dans l'étude des translations et vecteurs 4ème exercice corrigé. Elle se définit comme le vecteur résultant de la composition de deux translations.

Exemple: Si t₁ est une translation de vecteur u et t₂ une translation de vecteur v, leur composition équivaut à une translation de vecteur w = u + v.

La relation de Chasles, pilier des cours complet sur les vecteurs PDF, établit que pour tous points A, B et C du plan : AC = AB + BC. Cette relation fondamentale permet de décomposer et recomposer les vecteurs.

Définition: La somme vectorielle u + v correspond au vecteur associé à la translation composée des translations de vecteurs u et v.

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Applications Pratiques et Méthodes de Résolution

Les applications pratiques des vecteurs, notamment dans les exercices corrigés PDF, nécessitent une maîtrise de la relation de Chasles. Cette relation permet de simplifier des expressions vectorielles complexes.

Méthode: Pour simplifier AM + MN, on applique directement la relation de Chasles pour obtenir AN.

La propriété caractéristique du parallélogramme illustre parfaitement l'utilité des vecteurs : ABCD est un parallélogramme si et seulement si AC = AB + AD. Cette propriété est essentielle dans les cours sur les vecteurs 3ème pdf.

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Multiplication Vectorielle et Produit par un Scalaire

La multiplication vecteur par vecteur et le produit d'un vecteur par un réel enrichissent les possibilités de manipulation vectorielle. Pour un vecteur u et un réel k, le produit ku définit un nouveau vecteur aux propriétés spécifiques.

Définition: Le produit ku est un vecteur:

  • de même direction que u
  • de même sens que u si k > 0, de sens opposé si k < 0
  • de norme |k| fois celle de u

Cette notion est particulièrement utile dans les vecteur et translation exercice corrigé PDF, permettant de modifier l'intensité d'un vecteur tout en conservant sa direction.

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Opérations Vectorielles et Représentations Géométriques

Les vecteurs colinéaires constituent un concept fondamental en géométrie vectorielle. Lorsque nous manipulons un vecteur u, nous pouvons créer différents vecteurs qui lui sont colinéaires par multiplication scalaire. Par exemple, les vecteurs u, 1,5u et -3u partagent la même direction, bien que leurs sens et leurs normes diffèrent.

Pour comprendre la multiplication d'un vecteur par un scalaire, considérons les propriétés essentielles. Quand nous multiplions un vecteur par un nombre positif comme1,5ucomme 1,5u, le nouveau vecteur conserve le même sens que le vecteur initial, mais sa longueur est multipliée par ce nombre. En revanche, la multiplication par un nombre négatif 3u-3u inverse le sens du vecteur tout en multipliant sa norme par la valeur absolue du scalaire.

Définition: La Translation de vecteur AB est une transformation géométrique qui conserve les distances et les angles. Lorsqu'on effectue une translation, tous les points se déplacent dans la même direction, le même sens et de la même distance.

La représentation graphique des combinaisons de vecteurs nécessite une méthode précise. Pour représenter 2u, on place deux vecteurs u bout à bout. Pour la soustraction ou l'addition de vecteurs comme2uvcomme 2u - v, on utilise la règle du parallélogramme ou la méthode bout à bout en tenant compte des sens des vecteurs.

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Lola, utilisatrice iOS

J'adore cette application ❤️ Je l'utilise presque tout le temps pour réviser.

 

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Cours Complet sur les Vecteurs et Translation - Exercice Corrigé & PDF

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Les vecteurs et les translations sont des concepts mathématiques fondamentaux qui permettent de décrire les déplacements dans le plan et l'espace.

La translation de vecteur ABest une transformation géométrique qui déplace chaque point du plan selon une même direction,... Affiche plus

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Les Translations et Vecteurs en Mathématiques

La Translation et vecteur 4ème exercice Corrigé commence par comprendre le concept fondamental de la translation. Une translation représente un déplacement géométrique caractérisé par trois éléments essentiels : une direction précise, un sens déterminé et une distance fixe.

Pour illustrer ce concept, prenons l'exemple d'un téléphérique. Lorsqu'un téléphérique se déplace le long d'un câble, il effectue une translation parfaite. Le câble définit la direction, le mouvement de bas en haut détermine le sens, et la distance parcourue correspond à la longueur du déplacement.

Définition: Une translation est une transformation géométrique qui déplace chaque point d'une figure selon une même direction, un même sens et une même distance, sans modification de la forme ou des dimensions de la figure.

Dans le contexte des Vecteurs et translation exercice corrigé PDF, la translation est intimement liée au concept de vecteur. Un vecteur est caractérisé par les mêmes trois composantes qu'une translation : direction, sens et longueur aussiappeleˊenormeaussi appelée norme.

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Construction et Propriétés des Vecteurs

La Translation et vecteur seconde exercice Corrigé met en évidence la relation entre points et vecteurs. Lorsqu'on effectue une translation qui transforme un point A en un point A', on définit un vecteur noté AA'.

Exemple: Pour construire l'image d'une figure par translation, on applique le même déplacement me^medirection,sensetlongueurmême direction, sens et longueur à tous les points de la figure initiale.

Les Propriétés des vecteurs PDF montrent que deux vecteurs sont égaux s'ils partagent la même direction, le même sens et la même longueur. Cette propriété est fondamentale pour comprendre les Opération sur les vecteurs PDF.

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Astuce: Pour construire l'image d'un point par une translation de vecteur donné, utilisez la propriété du parallélogramme : si AB = CD, alors ABDC forme un parallélogramme.

Les Vecteurs colinéaires jouent un rôle particulier dans ces constructions. Deux vecteurs sont colinéaires lorsqu'ils ont la même direction ou des directions opposées.

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Le Cours sur les vecteurs 4ème PDF approfondit les propriétés des vecteurs avec la notion de parallélogramme. Cette propriété établit que si AB = CD, alors le quadrilatère ABDC est nécessairement un parallélogramme eˊventuellementaplatiéventuellement aplati.

Remarque: La Multiplication vecteur par vecteur et autres opérations vectorielles s'appuient sur ces propriétés fondamentales.

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Les Propriétés Fondamentales des Vecteurs et leurs Applications

Les vecteurs colinéaires et leurs propriétés constituent un élément fondamental de la géométrie vectorielle. Le milieu d'un segment ACAC se caractérise par l'égalité des vecteurs AB et BC, une propriété essentielle pour comprendre la translation de vecteur AB.

Un vecteur nul se définit lorsque ses points d'origine et d'extrémité sont confondus. Pour tout point M, le vecteur MM est nul, noté MM = 0. Cette notion est cruciale pour comprendre les opérations sur les vecteurs.

Définition: Un vecteur AB est nul si et seulement si les points A et B sont confondus, ce qui s'écrit AB = 0.

Les vecteurs opposés représentent un concept clé dans l'étude des propriétés des vecteurs PDF. Deux vecteurs sont opposés lorsqu'ils partagent la même direction et longueur mais ont des sens contraires. Il est essentiel de ne pas confondre la direction deˊfinieparunedroitedéfinie par une droite et le sens orientationsurcettedroiteorientation sur cette droite.

Remarque: Pour deux points A et B, les vecteurs AB et BA sont opposés, ce qui s'écrit BA = -AB.

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La Somme Vectorielle et la Relation de Chasles

La somme de vecteurs est fondamentale dans l'étude des translations et vecteurs 4ème exercice corrigé. Elle se définit comme le vecteur résultant de la composition de deux translations.

Exemple: Si t₁ est une translation de vecteur u et t₂ une translation de vecteur v, leur composition équivaut à une translation de vecteur w = u + v.

La relation de Chasles, pilier des cours complet sur les vecteurs PDF, établit que pour tous points A, B et C du plan : AC = AB + BC. Cette relation fondamentale permet de décomposer et recomposer les vecteurs.

Définition: La somme vectorielle u + v correspond au vecteur associé à la translation composée des translations de vecteurs u et v.

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Méthode: Pour simplifier AM + MN, on applique directement la relation de Chasles pour obtenir AN.

La propriété caractéristique du parallélogramme illustre parfaitement l'utilité des vecteurs : ABCD est un parallélogramme si et seulement si AC = AB + AD. Cette propriété est essentielle dans les cours sur les vecteurs 3ème pdf.

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Multiplication Vectorielle et Produit par un Scalaire

La multiplication vecteur par vecteur et le produit d'un vecteur par un réel enrichissent les possibilités de manipulation vectorielle. Pour un vecteur u et un réel k, le produit ku définit un nouveau vecteur aux propriétés spécifiques.

Définition: Le produit ku est un vecteur:

  • de même direction que u
  • de même sens que u si k > 0, de sens opposé si k < 0
  • de norme |k| fois celle de u

Cette notion est particulièrement utile dans les vecteur et translation exercice corrigé PDF, permettant de modifier l'intensité d'un vecteur tout en conservant sa direction.

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Opérations Vectorielles et Représentations Géométriques

Les vecteurs colinéaires constituent un concept fondamental en géométrie vectorielle. Lorsque nous manipulons un vecteur u, nous pouvons créer différents vecteurs qui lui sont colinéaires par multiplication scalaire. Par exemple, les vecteurs u, 1,5u et -3u partagent la même direction, bien que leurs sens et leurs normes diffèrent.

Pour comprendre la multiplication d'un vecteur par un scalaire, considérons les propriétés essentielles. Quand nous multiplions un vecteur par un nombre positif comme1,5ucomme 1,5u, le nouveau vecteur conserve le même sens que le vecteur initial, mais sa longueur est multipliée par ce nombre. En revanche, la multiplication par un nombre négatif 3u-3u inverse le sens du vecteur tout en multipliant sa norme par la valeur absolue du scalaire.

Définition: La Translation de vecteur AB est une transformation géométrique qui conserve les distances et les angles. Lorsqu'on effectue une translation, tous les points se déplacent dans la même direction, le même sens et de la même distance.

La représentation graphique des combinaisons de vecteurs nécessite une méthode précise. Pour représenter 2u, on place deux vecteurs u bout à bout. Pour la soustraction ou l'addition de vecteurs comme2uvcomme 2u - v, on utilise la règle du parallélogramme ou la méthode bout à bout en tenant compte des sens des vecteurs.

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Applications Pratiques des Vecteurs en Géométrie

Les opérations sur les vecteurs trouvent de nombreuses applications dans la résolution de problèmes géométriques. La combinaison linéaire de vecteurs, comme BC - 3AC, permet de décrire des positions relatives et des déplacements complexes dans le plan.

Exemple: Pour construire le vecteur 2u - v:

  1. Représenter d'abord 2u en doublant le vecteur u
  2. Représenter -v en inversant le sens de v
  3. Effectuer la somme géométrique des vecteurs 2u et -v

La maîtrise des propriétés des vecteurs est essentielle pour résoudre des problèmes de géométrie. Les vecteurs permettent de démontrer des propriétés géométriques, de calculer des distances et de caractériser des figures particulières. L'image d'un point par translation de vecteur s'obtient en appliquant le vecteur de translation à partir du point initial.

Les exercices pratiques renforcent la compréhension de ces concepts. Il est recommandé de s'entraîner avec des constructions géométriques variées, en utilisant différentes combinaisons de vecteurs et en vérifiant systématiquement les propriétés de colinéarité et de norme.

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

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