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Les vecteurs
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lola
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Les vecteurs chapitre 2, seconde générale
2nde
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● DEFINITION VECTEUR • On considère la translation qui transforme un point M en un point M' distinct de M. vecteur associé à la translation se représente par flèche : Le une Les vecteurs ● M Ce vecteur se note MM, aussi le noter peut par une seule lettre comme par exemple u • La translation qui tranforme un point M en lui même laisse les figures inchangées, le vecteur associé à cette translation est le vecteur nul noté 00n ne peut pas le représenter par flèche une M -sa -> u DEFINITION - CARACTERISTIQUE D'UN VECTEUR • On considère la translation qui transforme un point M en un point M' distinct de M. • Le vecteur associé à la translation se représente par une flèche : M' R Ce vecteur est caractérisé par -sa direction (<<<< inclinaison » de la droite (MM'); (de M vers M'); DES M' -son sens longueur appelée norme, notée ||MM'||. Le vecteur nul est de norme 0, il n'a ni direction ni sens DEFINITION - VECTEURS EGAUX • On dit que deux vecteurs sont égaux s'ils définissent la même translation. • En particulier deux vecteurs non nuls sont égaux si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même norme EXEMPLE Quels sont les vecteurs égaux au vecteur u sur la figure ci-dessous 2 # V -> W -> Les vecteurs et sont des vecteurs égaux car ils ont : -> • On écrit alors: W =...
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u² + v -même direction; -même sens; -même norme. • Les vecteurs et ne sont pas égaux, car ils I n ont le même sens. ● 13 pas -> • Les vecteurs et vne sont pas égaux, car ils A PROPRIETE-VECTEURS EGAUX ET PARALLELOGRAMME • Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan, • AB = CD si et seulement si ABDC est un parallelogramme. I n ont pas la même direction. -> Les vecteurs et ne sont pas égaux, car ils n'ont pas la même norme DEFINITION-SOMMES DE VECREURS, RELATION DE CHASLES A ● La somme l'enchaînement des translations de vecteur et ude vecteur v B de deux vecteurs et Vest le vecteur w associé à la translation résultant de ☺ C C -> -> On peut également écrire AC = AB + BC, c'est la relation de Chasles B D EXEMPLE Soit ABC un triangle. -> -> -> 1. Placer le point D tel que BD = CA + AB. -> BE = CA + CB. 2. Placer le point E tel que 1. 3. Placer le point F tel que D B BF = CB + AB くー C -> -> L'opposé de AB est le vecteur -AB = BA. -> -> L'opposé de Oest O 0 2. -u 3. E F B -> -> -> -> AB + (-BA) = AB + BA = AA = 0 On retiendra que la somme d'un vecteur et de son opposé donne le vecteur nul. 100 2) Pour soustraire un vecteur, on ajoute son opposé par exemple : -> -> -> -> BC + -AB = BC + (-AB) = BC + BA B DEFINITION - VECTEUR OPPOSE L'opposé d'un vecteur u = 0 est le vecteur de même direction, de même norme et de # sens contraire, -> on le note - u. A A REMARQUES IMPORTANTES 1) Enchaîné la translation de vecteur AB et de son opposé béa revient à faire la translation de vecteur nul. DEFINITION VECTEUR COLINEAI Lorsque deux vecteurs non nul ont la même direction, on dit qu'ils sont colinéaires. • Le vecteur nul et colinéaires à n'importe quel vecteur. C C REMARQUE • Des vecteurs non nul colinéaires ont la même direction mais pas forcément le même sens ni la même a EXEMPLE • Sur la figure ci-dessous tous les vecteurs sont colinéaires (ils ont la même direction): normes. ● EXEMPLE a u Si k 0 k 61 V C 4:47 C u DEFINITION PRODUIT D'UN VECTEUR PAR UN NOMBRE REEL • Soit un vecteur v≥ Oet un nombre réel k=0. • Le vecteur k va la même direction que le vecteur ☺ -> est de même sens que vet sa longueur est k fois celle de v Exprimer chacun des vecteurs a, b, c et d comme une somme en utilisant le -> vecteur u. -1/2 1² 3) ² -1xa 1) 2) b²=u²+² 3) 4) ď²=-u²+ (-u) + (-u) = 4u² (1) 2-1.8 ха 2) b = 1 • Sik < 0 k vest de sens opposé à vèt sa longueur est -k fois celle de Lorsque k = 0 et / ou v≥ 0 alors k✓= 0 4) d²= -3 4 -> -> -> -> -> a=u²+u+u+u = 4ữ -> ха -> -> u²+u=2ü² -> ха -> -> -> ²≥-u²+ (-u) + (-u) + (-u) = 4u² PROPRIETÉ - CARACTERISATION DES VECTEURS COLINEAIRES • Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si il est possible d'écrire l'un des produit de l'autre par un nombre réel vecteur comme
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● DEFINITION VECTEUR • On considère la translation qui transforme un point M en un point M' distinct de M. vecteur associé à la translation se représente par flèche : Le une Les vecteurs ● M Ce vecteur se note MM, aussi le noter peut par une seule lettre comme par exemple u • La translation qui tranforme un point M en lui même laisse les figures inchangées, le vecteur associé à cette translation est le vecteur nul noté 00n ne peut pas le représenter par flèche une M -sa -> u DEFINITION - CARACTERISTIQUE D'UN VECTEUR • On considère la translation qui transforme un point M en un point M' distinct de M. • Le vecteur associé à la translation se représente par une flèche : M' R Ce vecteur est caractérisé par -sa direction (<<<< inclinaison » de la droite (MM'); (de M vers M'); DES M' -son sens longueur appelée norme, notée ||MM'||. Le vecteur nul est de norme 0, il n'a ni direction ni sens DEFINITION - VECTEURS EGAUX • On dit que deux vecteurs sont égaux s'ils définissent la même translation. • En particulier deux vecteurs non nuls sont égaux si et seulement si ils ont la même direction, le même sens et la même norme EXEMPLE Quels sont les vecteurs égaux au vecteur u sur la figure ci-dessous 2 # V -> W -> Les vecteurs et sont des vecteurs égaux car ils ont : -> • On écrit alors: W =...
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u² + v -même direction; -même sens; -même norme. • Les vecteurs et ne sont pas égaux, car ils I n ont le même sens. ● 13 pas -> • Les vecteurs et vne sont pas égaux, car ils A PROPRIETE-VECTEURS EGAUX ET PARALLELOGRAMME • Soient A, B, C et D quatre points distincts du plan, • AB = CD si et seulement si ABDC est un parallelogramme. I n ont pas la même direction. -> Les vecteurs et ne sont pas égaux, car ils n'ont pas la même norme DEFINITION-SOMMES DE VECREURS, RELATION DE CHASLES A ● La somme l'enchaînement des translations de vecteur et ude vecteur v B de deux vecteurs et Vest le vecteur w associé à la translation résultant de ☺ C C -> -> On peut également écrire AC = AB + BC, c'est la relation de Chasles B D EXEMPLE Soit ABC un triangle. -> -> -> 1. Placer le point D tel que BD = CA + AB. -> BE = CA + CB. 2. Placer le point E tel que 1. 3. Placer le point F tel que D B BF = CB + AB くー C -> -> L'opposé de AB est le vecteur -AB = BA. -> -> L'opposé de Oest O 0 2. -u 3. E F B -> -> -> -> AB + (-BA) = AB + BA = AA = 0 On retiendra que la somme d'un vecteur et de son opposé donne le vecteur nul. 100 2) Pour soustraire un vecteur, on ajoute son opposé par exemple : -> -> -> -> BC + -AB = BC + (-AB) = BC + BA B DEFINITION - VECTEUR OPPOSE L'opposé d'un vecteur u = 0 est le vecteur de même direction, de même norme et de # sens contraire, -> on le note - u. A A REMARQUES IMPORTANTES 1) Enchaîné la translation de vecteur AB et de son opposé béa revient à faire la translation de vecteur nul. DEFINITION VECTEUR COLINEAI Lorsque deux vecteurs non nul ont la même direction, on dit qu'ils sont colinéaires. • Le vecteur nul et colinéaires à n'importe quel vecteur. C C REMARQUE • Des vecteurs non nul colinéaires ont la même direction mais pas forcément le même sens ni la même a EXEMPLE • Sur la figure ci-dessous tous les vecteurs sont colinéaires (ils ont la même direction): normes. ● EXEMPLE a u Si k 0 k 61 V C 4:47 C u DEFINITION PRODUIT D'UN VECTEUR PAR UN NOMBRE REEL • Soit un vecteur v≥ Oet un nombre réel k=0. • Le vecteur k va la même direction que le vecteur ☺ -> est de même sens que vet sa longueur est k fois celle de v Exprimer chacun des vecteurs a, b, c et d comme une somme en utilisant le -> vecteur u. -1/2 1² 3) ² -1xa 1) 2) b²=u²+² 3) 4) ď²=-u²+ (-u) + (-u) = 4u² (1) 2-1.8 ха 2) b = 1 • Sik < 0 k vest de sens opposé à vèt sa longueur est -k fois celle de Lorsque k = 0 et / ou v≥ 0 alors k✓= 0 4) d²= -3 4 -> -> -> -> -> a=u²+u+u+u = 4ữ -> ха -> -> u²+u=2ü² -> ха -> -> -> ²≥-u²+ (-u) + (-u) + (-u) = 4u² PROPRIETÉ - CARACTERISATION DES VECTEURS COLINEAIRES • Deux vecteurs sont colinéaires si et seulement si il est possible d'écrire l'un des produit de l'autre par un nombre réel vecteur comme