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Relations de Position entre Droites

Colinéaire

Maths1 008Mis à jour 27 sept. 20262 pages

Les vecteurs colinéaires : Définition et exemples expliqués simplement

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Manon 💋@manonbnss
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Tu vas découvrir comment déterminer si des vecteurs pointent dans la même direction et si des droites sont parallèles. Les vecteurs colinéaires sont un outil super pratique pour résoudre plein de problèmes de géométrie !
Les vecteurs colinéaires – page 1

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Vecteurs colinéaires : définition et calculs

Deux vecteurs sont colinéaires quand l'un est un multiple de l'autre, c'est-à-dire qu'on peut écrire u⃗=kv⃗\vec{u} = k\vec{v} avec k un nombre réel. En gros, ils pointent dans la même direction (ou direction opposée si k est négatif) !

Pour vérifier si deux vecteurs sont colinéaires, tu as deux méthodes au choix. Soit tu cherches le coefficient k, soit tu calcules leur déterminant. Si le déterminant vaut 0, bingo : tes vecteurs sont colinéaires !

Avec u⃗(27)\vec{u} \begin{pmatrix} 2 \\ 7 \end{pmatrix} et v⃗(931)\vec{v} \begin{pmatrix} 9 \\ 31 \end{pmatrix}, le déterminant est 2×31−7×9=62−63=−12×31-7×9 = 62-63 = -1. Comme ce n'est pas 0, ces vecteurs ne sont pas colinéaires.

Astuce : Le déterminant de deux vecteurs (ab)\begin{pmatrix} a \\ b \end{pmatrix} et (cd)\begin{pmatrix} c \\ d \end{pmatrix} se calcule avec ad−bcad - bc.

Les vecteurs colinéaires – page 2

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Applications : droites parallèles et points alignés

Les droites parallèles, c'est du gâteau avec les vecteurs ! Deux droites (AB) et (CD) sont parallèles si et seulement si les vecteurs AB⃗\vec{AB} et CD⃗\vec{CD} sont colinéaires. Tu calcules les coordonnées de chaque vecteur, puis tu vérifies avec le déterminant.

Pour savoir si trois points sont alignés, c'est le même principe. Les points A, B et C sont alignés quand les vecteurs AB⃗\vec{AB} et AC⃗\vec{AC} sont colinéaires.

Dans l'exemple avec M(0;1), N(120;61) et P−60;−30-60;-30, on trouve que MN⃗\vec{MN} et MP⃗\vec{MP} ne sont pas colinéaires. Donc ces trois points ne sont pas alignés - ils forment un triangle !

Mémo : Points alignés = vecteurs colinéaires = déterminant nul. C'est la même logique partout !

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