Limite d'une suite : définition simple, propriétés et suite géométrique

Limites et Convergence

Définitions clés

• Convergence : la suite ($u_n$) tend vers un réel $L$ si ses termes s'accumulent autour de $L$.
• Divergence : la suite n'a pas de limite finie (elle tend vers $\pm\infty$ ou n'existe pas).
• Limite infinie : $u_n$ dépasse n'importe quel nombre réel $A$ à partir d'un certain rang.

Somme de suites

• Règle générale : on additionne simplement les limites, par exemple $L + L' = L+L'$.
• Forme indéterminée : additionner $+\infty$ et $-\infty$ est impossible directement (noté F.I.).

💡 Astuce : Retiens que "l'infini l'emporte" toujours sur un nombre réel lors d'une addition.

Opérations et Comparaisons

Opérations et Formes Indéterminées

• Produit et Quotient : les règles des signes s'appliquent pour l'infini, sauf pour les F.I. comme $0 \times \infty$ ou $\frac{\infty}{\infty}$.
• Méthode : pour lever une F.I., factorise par le terme de plus haut degré.

Théorèmes de limites

• Théorème des Gendarmes : si $u_n \le v_n \le w_n$ et $\lim u_n = \lim w_n = L$, alors $\lim v_n = L$.
• Suites géométriques $q^n$ : converge vers $0$ si $-1 < q < 1$, et diverge vers $+\infty$ si $q > 1$.

Exemple : Pour $q = 0,5$ : $\lim_{n \to +\infty} 0,5^n = 0$ car $|0,5| < 1$.

💡 Attention : Si la raison $q \le -1$, la suite géométrique n'a pas de limite (elle oscille).