Loi binomiale - Fiche Terminale Spécialité Maths (définitions, exemples)

Loi binomiale

Schéma de Bernoulli

Répétition de $n$ épreuves identiques et indépendantes à deux issues.

• Succès $S$ : issue de probabilité $p$.
• Échec $\bar{S}$ : issue de probabilité $1-p$.

Loi et calculs

La variable aléatoire $X$ compte le nombre de succès.

• Formule : $P(X = k) = \binom{n}{k} \times p^k \times (1-p)^{n-k}$
• Espérance : $E(X) = n \times p$
• Coefficients : $\binom{n}{0} = 1$ et $\binom{n}{n-k} = \binom{n}{k}$

💡 Astuce : Pour trouver le coefficient binomial $\binom{n}{k}$ rapidement, utilise la touche "combinaison" de ta calculatrice.

Échantillonnage

Seuil et intervalle

Recherche d'un intervalle de fluctuation pour une variable $X \sim \mathcal{B}(n, p)$.

• Objectif : trouver le plus petit entier $a$ tel que $P(X \leq a) \geq 0,95$.
• Outil : utilisation de la fonction cumulée de la calculatrice.

Utilisation calculatrice

• Calcul : fonction binomFRép (ou binomcdf) avec les paramètres $n$, $p$ et $x$.

Exemple : Si $X \sim \mathcal{B}(10; 0,5)$ : $P(X \leq 3) \approx 0,172$ via la calculatrice.

💡 Attention : Ne confonds pas $P(X = k)$ (loi de probabilité précise) et $P(X \leq k)$ (probabilité cumulée).