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Découvre le Schéma de Bernoulli et la Loi Binomiale avec des Exercices Amusants

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Emmma

12/03/2023

Maths

Loi binomiale

Découvre le Schéma de Bernoulli et la Loi Binomiale avec des Exercices Amusants

La loi binomiale modélise la probabilité d'obtenir un certain nombre de succès lors de la répétition d'épreuves de Bernoulli indépendantes. Elle est caractérisée par deux paramètres : le nombre d'essais et la probabilité de succès à chaque essai.

Points clés :

  • Une épreuve de Bernoulli a deux issues possibles : succès (probabilité p) ou échec (probabilité 1-p)
  • Un schéma de Bernoulli répète cette épreuve un certain nombre de fois
  • La loi binomiale permet de calculer la probabilité d'obtenir k succès en n essais
  • La formule de la loi binomiale utilise les coefficients binomiaux
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12/03/2023

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• Uue épreuve de Bernoulle est une épreuve à deux
issues
que
I'on appelle succès et échec. La proba.
d'een succès est notée p et celle d'e

Voir

Expérience aléatoire et loi binomiale

La loi binomiale est une extension naturelle du schéma de Bernoulli, modélisant le nombre total de succès sur un nombre fixe de répétitions.

Définition: Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès pour n répétitions d'une épreuve de Bernoulli. X suit alors une loi binomiale de paramètres n et p, notée Bn,pn,p.

La formule de la loi binomiale pour calculer la probabilité d'obtenir exactement k succès sur n essais est :

Formule: PX=kX = k = nkn k p^k 1p1-p^nkn-k, où nkn k est le coefficient binomial.

Cette formule est fondamentale pour résoudre de nombreux exercices corrigés sur la loi binomiale.

Highlight: La loi binomiale formalise mathématiquement un schéma de Bernoulli à n répétitions.

Pour les calculs pratiques, l'utilisation d'une calculatrice est souvent nécessaire, notamment pour évaluer PX=kX=k ou PXkX≤k.

Exemple: Une calculatrice ti-83 ou une calculatrice casio graph 35+e peut être utilisée pour effectuer ces calculs complexes de loi binomiale.

La loi binomiale est un outil puissant en statistiques et en probabilités, permettant de modéliser de nombreuses situations réelles impliquant des essais répétés avec deux issues possibles.

Vocabulaire: Le terme "loi de nombre de succès" est parfois utilisé comme synonyme de loi binomiale, soulignant sa fonction de comptage des succès dans une série d'épreuves.

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Lola, utilisatrice iOS

J'adore cette application ❤️ Je l'utilise presque tout le temps pour réviser.

 

Maths

410

12 mars 2023

2 pages

Découvre le Schéma de Bernoulli et la Loi Binomiale avec des Exercices Amusants

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Emmma

@emma_ml0

La loi binomiale modélise la probabilité d'obtenir un certain nombre de succès lors de la répétition d'épreuves de Bernoulli indépendantes. Elle est caractérisée par deux paramètres : le nombre d'essais et la probabilité de succès à chaque essai.

Points clés... Affiche plus

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Expérience aléatoire et loi binomiale

La loi binomiale est une extension naturelle du schéma de Bernoulli, modélisant le nombre total de succès sur un nombre fixe de répétitions.

Définition: Soit X la variable aléatoire qui compte le nombre de succès pour n répétitions d'une épreuve de Bernoulli. X suit alors une loi binomiale de paramètres n et p, notée Bn,pn,p.

La formule de la loi binomiale pour calculer la probabilité d'obtenir exactement k succès sur n essais est :

Formule: PX=kX = k = nkn k p^k 1p1-p^nkn-k, où nkn k est le coefficient binomial.

Cette formule est fondamentale pour résoudre de nombreux exercices corrigés sur la loi binomiale.

Highlight: La loi binomiale formalise mathématiquement un schéma de Bernoulli à n répétitions.

Pour les calculs pratiques, l'utilisation d'une calculatrice est souvent nécessaire, notamment pour évaluer PX=kX=k ou PXkX≤k.

Exemple: Une calculatrice ti-83 ou une calculatrice casio graph 35+e peut être utilisée pour effectuer ces calculs complexes de loi binomiale.

La loi binomiale est un outil puissant en statistiques et en probabilités, permettant de modéliser de nombreuses situations réelles impliquant des essais répétés avec deux issues possibles.

Vocabulaire: Le terme "loi de nombre de succès" est parfois utilisé comme synonyme de loi binomiale, soulignant sa fonction de comptage des succès dans une série d'épreuves.

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Épreuve et variable aléatoire de Bernoulli

L'épreuve de Bernoulli est le fondement du schéma de Bernoulli et de la loi binomiale. Elle se caractérise par deux issues possibles, généralement appelées "succès" et "échec".

Définition: Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire à deux issues mutuellement exclusives.

La probabilité d'un succès est notée p, tandis que celle d'un échec est 1-p. Cette structure simple mais puissante permet de modéliser de nombreuses situations réelles.

Exemple: Le lancer d'une pièce de monnaie est une épreuve de Bernoulli classique, où "face" peut être considéré comme un succès et "pile" comme un échec.

La variable aléatoire de Bernoulli, notée X, est définie sur l'ensemble {0,1}, où :

  • X = 1 représente un succès avecprobabiliteˊpavec probabilité p
  • X = 0 représente un échec avecprobabiliteˊ1pavec probabilité 1-p

Formule: PX=1X=1 = p et PX=0X=0 = 1-p, où p ∈ 0,10,1

Schéma de Bernoulli

Le schéma de Bernoulli étend le concept d'épreuve unique à une série d'épreuves répétées.

Définition: Un schéma de Bernoulli est la répétition d'une même épreuve de Bernoulli un certain nombre de fois, de manière indépendante.

Cette succession d'épreuves peut être représentée graphiquement par un arbre de probabilité, offrant une visualisation claire des différents résultats possibles et de leurs probabilités associées.

Highlight: L'indépendance des épreuves est cruciale dans un schéma de Bernoulli. Chaque essai n'est pas influencé par les résultats des essais précédents.

L'arbre de probabilité pour un schéma de Bernoulli se construit en répétant la structure de base succeˋs/eˊchecsuccès/échec pour chaque épreuve. Les probabilités sur les branches restent constantes à chaque niveau, reflétant l'indépendance des essais.

Exemple: Dans un arbre à deux niveaux deuxeˊpreuvesdeux épreuves, les probabilités des branches finales seraient p², p1p1-p, 1p1-pp, et 1p1-p².

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

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Esteban M

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Leny

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Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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