Orthogonalité et distances dans l’espace — Cours, exercices et contrôle (produit scalaire)

Le produit scalaire dans l'espace

Définitions et calculs

Le calcul s'effectue dans le plan contenant les vecteurs, ou par projection.

• Formule cosinus : $\vec{u} \cdot \vec{v} = AB \times AC \times \cos(\theta)$ pour des vecteurs non nuls.
• Projeté orthogonal : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB \times AH$ avec $H$ le projeté de $C$ sur $(AB)$.
• Carré scalaire : $\vec{u} \cdot \vec{u} = \|\vec{u}\|^2$, toujours positif.

Propriétés algébriques

• Symétrie : $\vec{u} \cdot \vec{v} = \vec{v} \cdot \vec{u}$.
• Distributivité : $\vec{u} \cdot (\vec{v} + \vec{w}) = \vec{u} \cdot \vec{v} + \vec{u} \cdot \vec{w}$.

💡 Astuce : Pense à projeter un point sur une droite pour simplifier tes calculs de produit scalaire sans utiliser les angles.

Coordonnées et orthogonalité

Expression analytique

Dans un repère orthonormé, les calculs de produit scalaire et de distance se simplifient grâce aux coordonnées.

• Formule analytique : $\vec{u} \cdot \vec{v} = x x' + y y' + z z'$.
• Norme d'un vecteur : $\|\vec{u}\| = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$.
• Distance entre deux points : $AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$.

Orthogonalité de base

• Droites orthogonales : Leurs vecteurs directeurs vérifient $\vec{u} \cdot \vec{v} = 0$.
• Droite et plan : La droite est orthogonale à deux vecteurs non colinéaires du plan.

💡 Attention : N'oublie pas que la formule des coordonnées ne fonctionne que dans un repère orthonormé.

Vecteurs normaux et projetés

Vecteur normal à un plan

Un outil puissant pour caractériser la direction d'un plan dans l'espace.

• Définition : Un vecteur $\vec{n}$ non nul est normal à un plan si et seulement s'il est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de ce plan.
• Plans perpendiculaires : Leurs vecteurs normaux respectifs $\vec{n}$ et $\vec{n'}$ vérifient $\vec{n} \cdot \vec{n'} = 0$.

Projetés orthogonaux

• Sur un plan : Point d'intersection du plan avec la droite orthogonale passant par le point de départ.
• Sur une droite : Point d'intersection de la droite avec le plan orthogonal passant par le point de départ.

💡 Astuce : Le projeté orthogonal d'un point sur un plan (ou une droite) est le point de ce plan (ou de cette droite) le plus proche de lui.

Distances et parallélisme

Règles géométriques de base

Le parallélisme et l'orthogonalité s'associent de manière logique dans l'espace.

• Droites et plans : Deux droites orthogonales à un même plan sont parallèles entre elles.
• Plans parallèles : Si deux plans sont parallèles, toute droite orthogonale à l'un est orthogonale à l'autre.

Calculs de distances

• Distance à un plan : Donnée par la relation $AH = \frac{|\overrightarrow{AB} \cdot \vec{n}|}{\|\vec{n}\|}$ avec $B$ un point du plan.
• Distance à une droite : Donnée par la relation $AH = \frac{\|\overrightarrow{AB} \times \vec{v}\|}{\|\vec{v}\|}$.

💡 Attention : Pour calculer la distance d'un point à un plan, assure-toi d'utiliser un vecteur $\vec{n}$ qui est bien normal à ce plan.

Exercices d'application : Cube et pavé

Produits scalaires dans un cube

Calculs de produits scalaires dans un cube $ABCDEFGH$ de côté $5$.

• Angle droit : $\overrightarrow{BA} \cdot \overrightarrow{BC} = 5 \times 5 \times \cos(90^\circ) = 0$.
• Projection : $\overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AC} = \overrightarrow{AD} \cdot \overrightarrow{AD} = AD^2 = 25$ car $D$ est le projeté orthogonal de $C$ sur $(AD)$.

Cas du pavé droit

Dans un pavé où $AB=8$, $AD=5$ et $AE=3$.

• Calcul direct : $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = AB^2 = 64$ par projection de $C$ sur $(AB)$.

Exemple : Calculer $\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{AB}$ sachant que $I$ est le milieu de $[AB]$ : $\overrightarrow{AI} \cdot \overrightarrow{AB} = \frac{1}{2}AB^2 = \frac{1}{2} \times 8^2 = 32$.

💡 Astuce : Utilise les propriétés géométriques des faces du cube (carrés) pour repérer immédiatement les angles droits.

Exercice : Orthogonalité de vecteurs

Méthode analytique

Pour déterminer si deux vecteurs sont orthogonaux, on calcule leur produit scalaire avec leurs coordonnées.

• Calcul de $\vec{u} \cdot \vec{v}$ : S'il est nul, les vecteurs sont orthogonaux. Sinon, ils ne le sont pas.

Exemple : Soit $\vec{u}\begin{pmatrix} 3 \\ 2 \\ -12 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} -4 \\ 2 \\ -1 \end{pmatrix}$. $\vec{u} \cdot \vec{v} = 3 \times (-4) + 2 \times 2 + (-12) \times (-1) = -12 + 4 + 12 = 4$. Comme $4 \neq 0$, les vecteurs ne sont pas orthogonaux.

💡 Attention : Une seule erreur de signe dans le calcul du produit scalaire peut fausser toute ta conclusion sur l'orthogonalité.

Exercices : Vecteur normal et droites

Vérifier un vecteur normal

Pour montrer qu'un vecteur $\vec{w}$ est normal à un plan dirigé par $\vec{u}$ et $\vec{v}$, il doit être orthogonal à ces deux vecteurs.

• Condition : On doit vérifier que $\vec{w} \cdot \vec{u} = 0$ et $\vec{w} \cdot \vec{v} = 0$.

Orthogonalité de droites

• Méthode : On calcule le produit scalaire des vecteurs directeurs des deux droites.

Exemple : Soit $\vec{u}\begin{pmatrix} -1 \\ 4 \\ 1 \end{pmatrix}$ et $\vec{v}\begin{pmatrix} 5 \\ 3 \\ -1 \end{pmatrix}$. $\vec{u} \cdot \vec{v} = -1 \times 5 + 4 \times 3 + 1 \times (-1) = -5 + 12 - 1 = 6 \neq 0$. Les droites ne sont pas orthogonales.

💡 Astuce : Pour qu'un vecteur soit normal à un plan, il doit obligatoirement être orthogonal aux deux vecteurs de base de ce plan, pas à un seul.

Exercices : Angle et formules de polarisation

Utilisation des normes

La formule de polarisation permet de trouver le produit scalaire uniquement avec des longueurs.

• Formule : $\overrightarrow{DA} \cdot \overrightarrow{DB} = \frac{1}{2} (DA^2 + DB^2 - AB^2)$.

Calcul de la mesure d'un angle

On peut déterminer la valeur d'un angle au degré près en combinant les deux formules du produit scalaire.

• Étape 1 : On calcule $\overrightarrow{AB} \cdot \overrightarrow{AC} = 26$.
• Étape 2 : On résout $30 \cos(\widehat{BAC}) = 26 \implies \widehat{BAC} \approx 30^\circ$.

💡 Astuce : Utilise la fonction $\cos^{-1}$ de ta calculatrice en mode Degrés pour obtenir directement l'angle recherché.

Exercices : Décompositions vectorielles

Utilisation de la relation de Chasles

Pour calculer des produits scalaires complexes, on décompose les vecteurs en somme de vecteurs connus.

• Décomposition : $\vec{JK} \cdot \vec{AD} = (\vec{JD} + \vec{DK}) \cdot \vec{AD}$.
• Développement : On distribue pour obtenir des produits scalaires plus simples à calculer géométriquement.

Exemple : $\vec{IK} \cdot \vec{AC} = \frac{1}{2}(\vec{BC} \cdot \vec{AC} + \vec{CO} \cdot \vec{AC})$. En simplifiant chaque terme, on montre que la somme finale est égale à $0$.

💡 Astuce : Choisis des chemins de décomposition qui font apparaître des vecteurs colinéaires ou orthogonaux pour simplifier tes calculs.

Exercice de synthèse : Coordonnées dans le cube

Étude dans un repère orthonormé

Dans un cube de côté 1, on utilise le repère $(A; \overrightarrow{AB}, \overrightarrow{AD}, \overrightarrow{AE})$.

• Coordonnées : On détermine les coordonnées des milieux, par exemple $I(1 ; \frac{1}{2} ; 0)$ et $J(1 ; 0 ; \frac{1}{2})$.
• Vecteur normal : On montre que $\vec{n}$ est orthogonal aux vecteurs directeurs non colinéaires $\overrightarrow{IJ}$ et $\overrightarrow{IK}$ du plan.
• Distance d'un point à un plan : On applique la formule de distance avec le vecteur normal.

Exemple : Calculer la distance de $G$ au plan $(IJK)$ : $d(G, (IJK)) = \frac{|\overrightarrow{GI} \cdot \vec{n}|}{\|\vec{n}\|} = \frac{|-3/2|}{\sqrt{6}} = \frac{\sqrt{6}}{4}$.

💡 Astuce : Vérifie toujours l'orthonormalité de ton repère avant d'appliquer les formules de distance et de produit scalaire analytique.