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MATHS - dérivation, continuité & convexité
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Auriane Sarre
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fiche de révision sur les dérivées
1ère/Tle
Fiche de révision
FIN 17 IJ Nombre dérivé a a. Taux de variation le taux de variation de f entre a et a + h est le rapport : [f(a+h)-f(a) R b. Nombre dérivé d'une fone de f Même formule pour pente ou coeff di ÿ B-YA on un point XB A • f est dérivable en a signifie que lorsque h tend vers o f(a+h) - fraj tend vers um nb réel L appelé le nb deriva R fy DERIVATion en a ·lim f(a+h)-f(a) ho k - ON tangente On le note f'(a). f'(a) .c. Tangente à la courbe représentative d'une f'(a) (x -a) + f(a) 3 f(x) = x² II fonction dérivée a. dérivées des fonctions usuelles Fonc & définie par : / ensemble de défini Fonc dérivée f' définie de & De pan: |f(x) = c (constante) R f'(x) = 0 f(x) = x (identite) =Qx f(x) = x² R R f'(x) = 2x f'(x) 2 f(x) = 3x²³ (admis) Pp¹ R R R R x fonc f(x) = x² • Rsinyo pour in entier •]-00; 0[U] 0; f(x) = relatif non nul +0o[sin <0 f(x) = 1/1/2 f(x)=√x R* =] -∞0; 0[U] 0; f '(x) = +∞0 [ [0; +∞0 [] f(x) = c. Inverse d'une fonc n-1 oRsino x (came] =00; 0[0] 0; +00[ sin <o. R$ dérivable en 0. La fonc nacine camée n'est La fonc valeur absolue n'est pas dérivable en 0. pas 15124 x III; Dérivées & operations sur les fonctions. a. Samme de fonci b. Produit de fonc 6 (u + v)² = μ² + v no )' = n²o + mol 1 est dérivale sur D et d. Quotient de fonctions qVx Consequence •Rnb real : (RV)' ko' 2 •.u² est dérivable sur Det...
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Légende alternative :
(1²) = 2 u'l x ]0; +∞0 [ Soit & une fonc dérivable sur D et ne s'annulant pas sur [ (=) 3 8(x) = x ²³ 2 Soit u une fonc dérivable sen D. Soit & une ne s'annulant pas sur D et derivable sen D u est dérivable sur D et (2) ' e-Fonc dérivée de x + g(ax + b) = √ 2x-4-> x g(x) = √ x² g'(x) = • (-4x²+7) ²³ امه - - اند fonc = f'ex1 = axg|fax+) 2√x g'(x) = 3 x ² = f'(x) = ax g (ax+b) HOUTESTERIS I, Rappels • voir fiche de père Fonction & définic par: ensemble de def de £ / Dérivée f f(x) = R\ {0} R n> 1 entier f(xx) kx f(xx) = ek ● fiche 1 x" DERIVATION, CONTINUITE ET Fonction √u CONVEXITE pour les autres formules de derivat. |f'(x) = KER f (xc.) = kekx pour formules d'opération sur fond dérivées. R R ensemble def f fox)=_^ R\ {0} == Si f'(x) <0, alors alors & est décroissante sur I. Si f'(x) > 0, alors & est croissante sur I. Ij Dérivées d' une fonction composée f = vou est dérivable sur l' intervalle. I et on a: f'(x) = v²|u(x)) x u²(x) ou f' = v' u x ². • Cas particuliers de fonctions Ensemble de def u(x) > 0 4² avec n € 2² Sin <o u(x) = 0 R composées. Dérivée احد 2 vu nu' u Ⓡ ue 0 R III Notion de continuité (E=> flèches oblik ds tablo variat) • La courbe représentative d'1 fonc continue se trace sans lever le crayon. -& est continue en a si: lim f(x) = f(a) = L fun nombre) - f est continue sur I si f est continue on tot point de I. I Th. des valeurs intermédiaires f definie. et continue sur [a; b]. Pour tt réel k compris entre f(a) et f(b) il existe au Ⓒ un réel k compris entre a et b tel que f(c) = k. corolaire du th: s'il y a 1 unique solut. II Application à l'étude d'une suite • •Mn+1 = un f(un) Si fu) converge vers L, f (L) = L Sif croissante sur [0; +00[, alors (₂) croissante. décroissante " décroissante. " VII Dérivée seconde • fonction derivée seconde de f f" (pc) = (f '(x()' VIII fonction convexe x concave (courbe doit & strictem T /ou continue) 2. • convexe : courbe AU DESSUS des tangentes. concave: "1 EN DESSOUS (1 نما 3 L : = dérivée de fl. : convexo Sur R. concave sun ]-00; 0] et convexe sur [0; to "2 ; * √x: concave sur [0; +∞o [. "/ • & convexe sur I (=> dérivée f¹ croissante sur I if "(x) > 0) of concave décroissante (<=> :f" (xx<²0 Sif" (oc) s'annule en changeant de signe pour x = a alors A d'abscisse a est un pt d'inflexion.
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