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Maths gros résumé terminale

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 Imatha
LA BASE
• identités remarquables: ((a+b)²; (a-b)²; (a+b)(a+b))
a. b ² = √a² · 16² √2² =2
• racines carrées :
n
• puissances : am a"

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Imatha LA BASE • identités remarquables: ((a+b)²; (a-b)²; (a+b)(a+b)) a. b ² = √a² · 16² √2² =2 • racines carrées : n • puissances : am a" = am+^ > (am)" > a^b^ = (ab)" > a^ = 1 n > a' • exponentielle > eº=1 > ea+b=e9eb DERIVEES: Fonctions • équations du second degré : A = 6² - 4ac :> A<0 → pas de solution > A = 0 ⇒ x = = --b+√A > A>0x₁₂=²²¹ -√² X₂ 2a 29 k ax, a ER x, neN* 1 X · √x sin(x) cos(x) · In(x) ekx, KER LIMITES! lim = =+00 x>0+ X • logarithme répérien: > Ine* = x > e¹nx =x > In(1)=0 et Ine = 1 > In(ab) = \na + Inb > In(a") = n\n(@) > In ( ²2 ) = -lnb > In ( 2 ) = Ina - Inb > In (√@²) = 1_(na soit n lim X" = +∞ X-478 . • lim ex = +∞o x +∞o • lim \n(x) = +∞o a X-too < si f≤g et • si lim f(x) = B x→+0 Ensemble de dérivabilité Dérivée TR TR si R R* J0; +∞0 TR TR un entier naturel non nul si lim f(x) = = ∞ x49 TR 0i+∞[ et lim 1 X-0-X théorème des gendarmes: • si f≤ g≤h R ultra révision 8-48 =18 lime=0 84-8 lim In(x) = -∞ X40 -a na 1 ²= eªeb > e²-b== === > e²ª= = = ₁ > e²e²ª = 1 > enª - (eª)", nez > ea-b. ee=1>e = eq 0 ou lim f(x) = l 84-8 hx alors Ce a n-1 lim x² = -∞ (si n est impair) X² 1 2√x cos(x) -sin(x) ex 슷 kekx et si lim f(x) = lim h(x)...

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= l x> q x→a lim ÷ = lim = = 0 X X7-00 x→+8 lim X4+∞o xh lim f(x) = +∞, alors lim x→+8 lim x→+8 = +∞ X→+∞ ➤ ( + )' = 2 > (19) = 2447 > (√²)² = a > Y réel x: √X²² = 1x1 Opérations sur les dérivées : > (u+v)' = u' +v' ➤ (uv)' =u'v+uv! ➤ (vou)' = (v'ou). u' In(x) xh h9 alors C am an xn lim x² = 0 ex X-7+x = 0 alors lim g(x) = l xa g(x) = +∞0 = am-ny lim x=+∞o (sin est pair) X-7-x 10 #1 50/50 n a = (^ > (ku)' = ku' > (u^)' = 'u-1 > (e") ² = y'eu ➤ (1) ² = 4²v - uv₁ V² > (In(u) = = ₁ avec u>0 lim x² ln(x) = 0 X40 lim xnex = 0 X--X a une asymptote verticale d'équation_x=a croissances comparées a une asymptote horizontale d'équation y = l PRIMITIVES Fonctions a ● X xn (n= -1) 1 √√x 4 X sin(x) cos(x) Ưun (nđ-1) 3233 u'eu sin (ax+b) cos (ax + b) SUITES: arithmétiques: Un = Zu d+a ? Un+₁-4₁₂₁=r? Primitives ax 2 1 n+1 1x² 2 2√x In (x) et -cos(x) sin(x) > Un+₁ = Un + r > Un = U₁ + nr = u₁(n-1) r (Ud + ₂)(a-d+1) 4 n+1 2√u In (u) еч a n+1 u cos(ax+b) sin (ax+b) d+a jr = EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 'y' = ay y' = ay + b → y' = ay + f(x) →→→ • Unt1 INTÉGRAL b f(x) dx = [F(x)] = F(b)-F(a) a -a • Sºf(x) dx = 0 • Sº f(x) dx = -√°FGx) dx 9 。 f(x) • [° g(x)dx ²f (x) + g(x) dx = √° f(x) dx + • valeur moyenne: m = -f(x) dx ob intégration per parties : [ u²(x>V(x) dx = [4(x)]- Surovider a 0 géométriques: > Un+₁ = ung > Un = U₁9" = U₁₂₁₂ ·gn-1 1-qa-d+1 1-9 y(x) = ceax y(x) = Ceªx - d a y(x) = C₂²x + u(x) dx relation de Chasles: √° F)dx + √²Fxdx = fff3d* [ "kf(x) dx = k[ *P5²) dx q? raisonnement par récurrence: (exemple) مام ● analyses: >Unti-un= 1 = solution particulière ➤limite: -1<9<1 => lim gh = 0 n-too 9> 1 => lim q^= +00 n→ +∞ si un ≤ V₁ →lim=+00 si un V₁ →lim = - 00 th. des gendarmes: un≤v swn → lim Un=lim Wn = L ⇒√₂=L thi de convergence monotone une suite converge si elle a une lim finie -Un est croissante et majorée (un ≤M) Un est décroissante et minorée (um) barnée (m²un² M) - Un est croissante et non majorée → +∞ Un est décroissante et non minorée →-00 maths ultra CONVEXITÉ : convexe sur I sa courbe représentative est au-dessus de ses tangentes isions reviS concave: sur I, sa courbe représentative est en dessous de ses tangentes 1) domaine 2) dérivée 3) variations (tableau...) 4) images/limites; T.V. I; tableau de signe 5) tangente (y = f'(a)(x-a) + f(a)) 6) convexité (dérivée seconde) / point d'inflexion (e traverse sa tangente, changement de convexite, f" (a) = 0 et f"change de signe en a, (a; f(a))) si f est aussi strictement monotone sur •[a,b] alors f(x)= k a une unique solution • CONTINUITE • f est continue en un point a de I si lim f(x) = f(a) x→a •f est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de cet intervalle •toute fonction dérivable est continue • la somme, le produit et la composée de fonctions continues sont continues • l'inverse d'une fonction continue qui ne s'annule pas est continue. • théorème des valeurs intermédiaires : si f est continue sur [a;b] et si k est compris entre f(a) et f(b) alors f(x)= k a au moins une solution Xo par L |u² = xi² + yj + zk xỉ le triplet (1:3²; k) ;) direction d'un plan 2 vecteurs non nuls et non colinéaires •droites parallèles ssi v.d. sont colinéaires => si f' 7 n => si f'\ • base de l'espace : i; et & non fibit kt ▶ ce théorème reste valable sur un intevalle ouvert ]a; b[ en remplaçant f(a) et f(b) par lim f(x) et lim f(x) on peut aussi remplacer a et b x-9 -∞ et +∞ GEO ESPACE • Chasles: AB + BC = AC colinéaires = kữ vecteur directeur de d: tout vecteur non nul avec même directeur que d soit A un point de l'espace et a un vecteur non nu! ➤d passant par A et de vecteur directeur & => AM et û > deux droites avec v.d. et → parallèle ssi u et T a 1 # 2 Xo sont colinéaires sont colinéaires • tout point M de l'espace appartient à (ABC) ssi il existe xety ER₁ tels que AM = x + y v • W = au + b² (a, b €RR) uniques → ₁ et ŵ => coplanaires b coplanaires → non coplanaires → pour tout vecteur => un unique tripler (x jy₁z) -A (XAi YA+ZA) • milieu de [AB] = (XA+ X₂ 2 Produit scalaire : ➤ ū= AB et ✓ = AC : V = ||||·||||· cos(BAC) = AB · AC · cos (BAC) . Du X ● XB B(x B ; YB ; ZB); AB (YB - Yo ув -ZA ZA TZB 2 et y Z :u.V = xx² + yy' + Zzz' et llull =√√x² + y² + z ² > Ù.V = V.U ➤ U. (V+W) = .V + W et (ku).V = k·(ũ.v) ĐUỔI =Ế (HU - Nữ 2 -) = 2 (Hài + ữ-v) •2 vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul : ₁₂V = 0 ñ est normal à P si orthogonal à tout vecteur de P / à 2 vecteurs non colinéaires de P • projeté orthogonal Représentation paramétrique : 7 (6) Уа тув 2 v.d. b X = XM + at point M (X miymizm) y = ym + bt tER ct Z = ZM + Equation cartésienne: v.n. (8) ax +by+cz +d=0 •exemple : X (15; 0,32) 12 ➤ exactement 12 P(X = 12) = (12) - 0,32¹² - 0,68³ ➤ au moins 3 ➤ au plus 9 > moins que 10 > plus que 7 ➤ entre 3 et 12 AB = √(x8²xA)² + (y₁ - y₁)² + (2²8-²₁) ² LOI BINOMIALE: •épreuve de Bernoulli (expérience aléatoire avec deux issues, indépendantes, répétitions) • B(n;p) alors P(X= k) = (k) p² qon-k k où 9 = 1-p P ( X > 3) = P ( X ≤9) P ( X < 10) = P(X ≤ 9) P(X>7) = 1- P(X≤7) 1-P ( X < 3) = 1 - P(X ≤2) et (+V) (U-V) = 2²-2² > sachant plus que 7 ; plus que 9 P(x > 9) = X77 • E(Y) = np • V (Y) = np (1-P) ・σ(Y) = √V (Y)` • Y = X₁ + X₂ +... • Y = ax + b E(Y) = E(X₁ + X₂) = E(X₂) + E(X₂) P( 3 ≤ x ≤ 12) = P(X ≤ 12) - P(X<3) = P(X ≤12) - P(X ≤2) P(x>9)^x>7) _ P(x>9) _₁- P(x≤9) P(x >7) 1 P(X77) 1-P(X≤7) E(Y) = a E(X) V (Y) = a²V(x) • V(Y) = V (X₁₂+ X₂ ) = V(X₂) + V(X₂) J-

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• identités remarquables: ((a+b)²; (a-b)²; (a+b)(a+b))
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Imatha LA BASE • identités remarquables: ((a+b)²; (a-b)²; (a+b)(a+b)) a. b ² = √a² · 16² √2² =2 • racines carrées : n • puissances : am a" = am+^ > (am)" > a^b^ = (ab)" > a^ = 1 n > a' • exponentielle > eº=1 > ea+b=e9eb DERIVEES: Fonctions • équations du second degré : A = 6² - 4ac :> A<0 → pas de solution > A = 0 ⇒ x = = --b+√A > A>0x₁₂=²²¹ -√² X₂ 2a 29 k ax, a ER x, neN* 1 X · √x sin(x) cos(x) · In(x) ekx, KER LIMITES! lim = =+00 x>0+ X • logarithme répérien: > Ine* = x > e¹nx =x > In(1)=0 et Ine = 1 > In(ab) = \na + Inb > In(a") = n\n(@) > In ( ²2 ) = -lnb > In ( 2 ) = Ina - Inb > In (√@²) = 1_(na soit n lim X" = +∞ X-478 . • lim ex = +∞o x +∞o • lim \n(x) = +∞o a X-too < si f≤g et • si lim f(x) = B x→+0 Ensemble de dérivabilité Dérivée TR TR si R R* J0; +∞0 TR TR un entier naturel non nul si lim f(x) = = ∞ x49 TR 0i+∞[ et lim 1 X-0-X théorème des gendarmes: • si f≤ g≤h R ultra révision 8-48 =18 lime=0 84-8 lim In(x) = -∞ X40 -a na 1 ²= eªeb > e²-b== === > e²ª= = = ₁ > e²e²ª = 1 > enª - (eª)", nez > ea-b. ee=1>e = eq 0 ou lim f(x) = l 84-8 hx alors Ce a n-1 lim x² = -∞ (si n est impair) X² 1 2√x cos(x) -sin(x) ex 슷 kekx et si lim f(x) = lim h(x)...

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= l x> q x→a lim ÷ = lim = = 0 X X7-00 x→+8 lim X4+∞o xh lim f(x) = +∞, alors lim x→+8 lim x→+8 = +∞ X→+∞ ➤ ( + )' = 2 > (19) = 2447 > (√²)² = a > Y réel x: √X²² = 1x1 Opérations sur les dérivées : > (u+v)' = u' +v' ➤ (uv)' =u'v+uv! ➤ (vou)' = (v'ou). u' In(x) xh h9 alors C am an xn lim x² = 0 ex X-7+x = 0 alors lim g(x) = l xa g(x) = +∞0 = am-ny lim x=+∞o (sin est pair) X-7-x 10 #1 50/50 n a = (^ > (ku)' = ku' > (u^)' = 'u-1 > (e") ² = y'eu ➤ (1) ² = 4²v - uv₁ V² > (In(u) = = ₁ avec u>0 lim x² ln(x) = 0 X40 lim xnex = 0 X--X a une asymptote verticale d'équation_x=a croissances comparées a une asymptote horizontale d'équation y = l PRIMITIVES Fonctions a ● X xn (n= -1) 1 √√x 4 X sin(x) cos(x) Ưun (nđ-1) 3233 u'eu sin (ax+b) cos (ax + b) SUITES: arithmétiques: Un = Zu d+a ? Un+₁-4₁₂₁=r? Primitives ax 2 1 n+1 1x² 2 2√x In (x) et -cos(x) sin(x) > Un+₁ = Un + r > Un = U₁ + nr = u₁(n-1) r (Ud + ₂)(a-d+1) 4 n+1 2√u In (u) еч a n+1 u cos(ax+b) sin (ax+b) d+a jr = EQUATIONS DIFFÉRENTIELLES 'y' = ay y' = ay + b → y' = ay + f(x) →→→ • Unt1 INTÉGRAL b f(x) dx = [F(x)] = F(b)-F(a) a -a • Sºf(x) dx = 0 • Sº f(x) dx = -√°FGx) dx 9 。 f(x) • [° g(x)dx ²f (x) + g(x) dx = √° f(x) dx + • valeur moyenne: m = -f(x) dx ob intégration per parties : [ u²(x>V(x) dx = [4(x)]- Surovider a 0 géométriques: > Un+₁ = ung > Un = U₁9" = U₁₂₁₂ ·gn-1 1-qa-d+1 1-9 y(x) = ceax y(x) = Ceªx - d a y(x) = C₂²x + u(x) dx relation de Chasles: √° F)dx + √²Fxdx = fff3d* [ "kf(x) dx = k[ *P5²) dx q? raisonnement par récurrence: (exemple) مام ● analyses: >Unti-un= 1 = solution particulière ➤limite: -1<9<1 => lim gh = 0 n-too 9> 1 => lim q^= +00 n→ +∞ si un ≤ V₁ →lim=+00 si un V₁ →lim = - 00 th. des gendarmes: un≤v swn → lim Un=lim Wn = L ⇒√₂=L thi de convergence monotone une suite converge si elle a une lim finie -Un est croissante et majorée (un ≤M) Un est décroissante et minorée (um) barnée (m²un² M) - Un est croissante et non majorée → +∞ Un est décroissante et non minorée →-00 maths ultra CONVEXITÉ : convexe sur I sa courbe représentative est au-dessus de ses tangentes isions reviS concave: sur I, sa courbe représentative est en dessous de ses tangentes 1) domaine 2) dérivée 3) variations (tableau...) 4) images/limites; T.V. I; tableau de signe 5) tangente (y = f'(a)(x-a) + f(a)) 6) convexité (dérivée seconde) / point d'inflexion (e traverse sa tangente, changement de convexite, f" (a) = 0 et f"change de signe en a, (a; f(a))) si f est aussi strictement monotone sur •[a,b] alors f(x)= k a une unique solution • CONTINUITE • f est continue en un point a de I si lim f(x) = f(a) x→a •f est continue sur un intervalle si elle est continue en tout point de cet intervalle •toute fonction dérivable est continue • la somme, le produit et la composée de fonctions continues sont continues • l'inverse d'une fonction continue qui ne s'annule pas est continue. • théorème des valeurs intermédiaires : si f est continue sur [a;b] et si k est compris entre f(a) et f(b) alors f(x)= k a au moins une solution Xo par L |u² = xi² + yj + zk xỉ le triplet (1:3²; k) ;) direction d'un plan 2 vecteurs non nuls et non colinéaires •droites parallèles ssi v.d. sont colinéaires => si f' 7 n => si f'\ • base de l'espace : i; et & non fibit kt ▶ ce théorème reste valable sur un intevalle ouvert ]a; b[ en remplaçant f(a) et f(b) par lim f(x) et lim f(x) on peut aussi remplacer a et b x-9 -∞ et +∞ GEO ESPACE • Chasles: AB + BC = AC colinéaires = kữ vecteur directeur de d: tout vecteur non nul avec même directeur que d soit A un point de l'espace et a un vecteur non nu! ➤d passant par A et de vecteur directeur & => AM et û > deux droites avec v.d. et → parallèle ssi u et T a 1 # 2 Xo sont colinéaires sont colinéaires • tout point M de l'espace appartient à (ABC) ssi il existe xety ER₁ tels que AM = x + y v • W = au + b² (a, b €RR) uniques → ₁ et ŵ => coplanaires b coplanaires → non coplanaires → pour tout vecteur => un unique tripler (x jy₁z) -A (XAi YA+ZA) • milieu de [AB] = (XA+ X₂ 2 Produit scalaire : ➤ ū= AB et ✓ = AC : V = ||||·||||· cos(BAC) = AB · AC · cos (BAC) . Du X ● XB B(x B ; YB ; ZB); AB (YB - Yo ув -ZA ZA TZB 2 et y Z :u.V = xx² + yy' + Zzz' et llull =√√x² + y² + z ² > Ù.V = V.U ➤ U. (V+W) = .V + W et (ku).V = k·(ũ.v) ĐUỔI =Ế (HU - Nữ 2 -) = 2 (Hài + ữ-v) •2 vecteurs sont orthogonaux si leur produit scalaire est nul : ₁₂V = 0 ñ est normal à P si orthogonal à tout vecteur de P / à 2 vecteurs non colinéaires de P • projeté orthogonal Représentation paramétrique : 7 (6) Уа тув 2 v.d. b X = XM + at point M (X miymizm) y = ym + bt tER ct Z = ZM + Equation cartésienne: v.n. (8) ax +by+cz +d=0 •exemple : X (15; 0,32) 12 ➤ exactement 12 P(X = 12) = (12) - 0,32¹² - 0,68³ ➤ au moins 3 ➤ au plus 9 > moins que 10 > plus que 7 ➤ entre 3 et 12 AB = √(x8²xA)² + (y₁ - y₁)² + (2²8-²₁) ² LOI BINOMIALE: •épreuve de Bernoulli (expérience aléatoire avec deux issues, indépendantes, répétitions) • B(n;p) alors P(X= k) = (k) p² qon-k k où 9 = 1-p P ( X > 3) = P ( X ≤9) P ( X < 10) = P(X ≤ 9) P(X>7) = 1- P(X≤7) 1-P ( X < 3) = 1 - P(X ≤2) et (+V) (U-V) = 2²-2² > sachant plus que 7 ; plus que 9 P(x > 9) = X77 • E(Y) = np • V (Y) = np (1-P) ・σ(Y) = √V (Y)` • Y = X₁ + X₂ +... • Y = ax + b E(Y) = E(X₁ + X₂) = E(X₂) + E(X₂) P( 3 ≤ x ≤ 12) = P(X ≤ 12) - P(X<3) = P(X ≤12) - P(X ≤2) P(x>9)^x>7) _ P(x>9) _₁- P(x≤9) P(x >7) 1 P(X77) 1-P(X≤7) E(Y) = a E(X) V (Y) = a²V(x) • V(Y) = V (X₁₂+ X₂ ) = V(X₂) + V(X₂) J-