Définition des fonctions polynômes du second degré

Une fonction polynôme du second degré est définie sur ℝ par l'expression f$x$ = ax² + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels avec a ≠ 0.

Points importants :

• La présence du terme ax² $avec a ≠ 0$ est essentielle pour qu'une fonction soit du second degré
• Le coefficient a détermine l'ouverture et l'orientation de la parabole
• Les coefficients b et c influencent la position de la parabole dans le plan

Exemples :

• f$x$ = x² - 3 - 2x + 1 est une fonction polynôme du second degré $on peut réorganiser en x² - 2x - 2$
• g$x$ = 3x² + 1 est une fonction polynôme du second degré $a = 3, b = 0, c = 1$
• h$x$ = 2x + 3 n'est PAS une fonction polynôme du second degré $absence de x²$

Concept clé : La représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré est toujours une parabole. Lorsque a > 0, la parabole est orientée vers le haut $forme en "U"$, et lorsque a < 0, elle est orientée vers le bas $forme en "∩"$.

Il est important de savoir reconnaître rapidement si une fonction est un polynôme du second degré pour appliquer les bonnes méthodes de résolution dans les exercices.

!$Représentation d'une parabole avec l'équation y = x² - 3$

Association d'une fonction du second degré à sa représentation graphique

Pour associer correctement une fonction polynôme du second degré à sa représentation graphique, plusieurs éléments doivent être analysés :

Points d'observation importants :

• La position du sommet de la parabole
• L'orientation des branches $vers le haut ou vers le bas$
• L'ouverture de la parabole $plus ou moins évasée$

Méthode d'analyse :

1. Identifier les coordonnées du sommet de la parabole
2. Déterminer l'orientation des branches $a > 0 ou a < 0$
3. Comparer l'ouverture des paraboles $valeur absolue de a$

Astuce pratique : Pour une fonction de forme f$x$ = ax² + b, le sommet de la parabole a pour coordonnées $0, b$. Si a > 0, les branches sont tournées vers le haut, et si a < 0, elles sont tournées vers le bas.

Exemple d'application :

• Une parabole dont le sommet est à l'origine $0, 0$ correspond à une fonction de type f$x$ = ax²
• Une parabole avec un sommet au point $0, 3$ et des branches vers le bas correspond à une fonction de type f$x$ = -ax² + 3
• L'ouverture de la parabole est inversement proportionnelle à la valeur absolue de a

Cette méthode permet de résoudre efficacement les exercices corrigés sur les polynômes du second degré, notamment ceux demandant d'associer plusieurs fonctions à leurs représentations graphiques.

Détermination graphique de l'expression d'une fonction polynôme du second degré

Lorsqu'on nous donne la représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré, on peut retrouver son expression en suivant une méthode précise.

Étapes de la méthode :

1. Vérifier que la courbe est bien une parabole
2. Identifier les coordonnées du sommet $h, k$
3. Déterminer si a > 0 ou a < 0 selon l'orientation des branches
4. Utiliser un point connu de la courbe pour calculer la valeur exacte de a

Méthode essentielle : Pour une fonction de forme f$x$ = ax² + b, le sommet a pour coordonnées $0, b$. Il suffit ensuite d'utiliser un autre point de la courbe et de résoudre l'équation pour trouver a.

Exemple pratique :

• Si le sommet de la parabole est au point $0, 3$ et que f$1$ = 4, on sait que f$x$ = ax² + 3
• En remplaçant dans l'équation : a×1² + 3 = 4
• On résout : a + 3 = 4, donc a = 1
• L'expression de la fonction est donc f$x$ = x² + 3

Cette compétence est fondamentale pour résoudre les exercices de forme canonique des fonctions polynômes du second degré et permet d'établir le lien entre la représentation graphique et l'expression algébrique d'une fonction.

Exercices d'association entre fonctions et représentations graphiques

Pour maîtriser les fonctions polynômes du second degré, il est essentiel de s'entraîner à faire le lien entre les expressions algébriques et leurs représentations graphiques.

Types d'exercices proposés :

• Association de plusieurs fonctions à leurs courbes respectives
• Analyse des caractéristiques des paraboles $sommet, orientation, ouverture$
• Comparaison de l'influence des coefficients sur la forme des courbes

Points à observer pour chaque fonction :

• Pour f$x$ = x² + 1 : parabole orientée vers le haut avec sommet en $0, 1$
• Pour g$x$ = x² : parabole orientée vers le haut avec sommet à l'origine
• Pour h$x$ = -0,2x² + 2 : parabole orientée vers le bas avec sommet en $0, 2$ et ouverture large
• Pour m$x$ = -3x² : parabole orientée vers le bas avec sommet à l'origine et ouverture étroite

Exercice type : Dans les exercices corrigés PDF sur les polynômes du second degré, on demande souvent d'associer des fonctions comme f$x$ = 2x² + 1 ou g$x$ = -2x² + 1 à leurs représentations graphiques. La différence réside dans l'orientation et la position du sommet de la parabole.

Ces exercices permettent de développer l'intuition graphique et de comprendre visuellement l'impact des paramètres a, b et c sur la représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2.