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Polynômes de Second Degré : Cours et Exemples Corrigés

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Assia

05/02/2022

Maths

Maths: les fonctions polynômes de degré 2

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Maths

Polynômes de Second Degré : Cours et Exemples Corrigés

Les fonctions polynômes du second degré sont un sujet fascinant en mathématiques qui joue un rôle crucial dans la résolution de nombreux problèmes réels. Ces fonctions, de la forme f(x) = ax² + bx + c, se caractérisent par leur représentation graphique en forme de parabole. Dans ce cours, nous explorerons la définition, les propriétés et les représentations graphiques des polynômes du second degré. Vous apprendrez à identifier ces fonctions, à analyser leur comportement graphique et à déterminer leur expression à partir de leur représentation. Ces compétences sont essentielles pour maîtriser les exercices corrigés sur les fonctions polynômes de degré 2.

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05/02/2022

338

1° stmg 2021/2022 C5 Les fonctions polynômes de degré 2 (Partie 1) I. Définition Les fonctions, definies sut 1R₁ Par f6x) = ax ² + B sont de

Voir

Définition des fonctions polynômes du second degré

Une fonction polynôme du second degré est définie sur ℝ par l'expression f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels avec a ≠ 0.

Points importants :

  • La présence du terme ax² (avec a ≠ 0) est essentielle pour qu'une fonction soit du second degré
  • Le coefficient a détermine l'ouverture et l'orientation de la parabole
  • Les coefficients b et c influencent la position de la parabole dans le plan

Exemples :

  • f(x) = x² - 3 - 2x + 1 est une fonction polynôme du second degré (on peut réorganiser en x² - 2x - 2)
  • g(x) = 3x² + 1 est une fonction polynôme du second degré (a = 3, b = 0, c = 1)
  • h(x) = 2x + 3 n'est PAS une fonction polynôme du second degré (absence de x²)

Concept clé : La représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré est toujours une parabole. Lorsque a > 0, la parabole est orientée vers le haut (forme en "U"), et lorsque a < 0, elle est orientée vers le bas (forme en "∩").

Il est important de savoir reconnaître rapidement si une fonction est un polynôme du second degré pour appliquer les bonnes méthodes de résolution dans les exercices.

![Représentation d'une parabole avec l'équation y = x² - 3]

1° stmg 2021/2022 C5 Les fonctions polynômes de degré 2 (Partie 1) I. Définition Les fonctions, definies sut 1R₁ Par f6x) = ax ² + B sont de

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Association d'une fonction du second degré à sa représentation graphique

Pour associer correctement une fonction polynôme du second degré à sa représentation graphique, plusieurs éléments doivent être analysés :

Points d'observation importants :

  • La position du sommet de la parabole
  • L'orientation des branches (vers le haut ou vers le bas)
  • L'ouverture de la parabole (plus ou moins évasée)

Méthode d'analyse :

  1. Identifier les coordonnées du sommet de la parabole
  2. Déterminer l'orientation des branches (a > 0 ou a < 0)
  3. Comparer l'ouverture des paraboles (valeur absolue de a)

Astuce pratique : Pour une fonction de forme f(x) = ax² + b, le sommet de la parabole a pour coordonnées (0, b). Si a > 0, les branches sont tournées vers le haut, et si a < 0, elles sont tournées vers le bas.

Exemple d'application :

  • Une parabole dont le sommet est à l'origine (0, 0) correspond à une fonction de type f(x) = ax²
  • Une parabole avec un sommet au point (0, 3) et des branches vers le bas correspond à une fonction de type f(x) = -ax² + 3
  • L'ouverture de la parabole est inversement proportionnelle à la valeur absolue de a

Cette méthode permet de résoudre efficacement les exercices corrigés sur les polynômes du second degré, notamment ceux demandant d'associer plusieurs fonctions à leurs représentations graphiques.

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Détermination graphique de l'expression d'une fonction polynôme du second degré

Lorsqu'on nous donne la représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré, on peut retrouver son expression en suivant une méthode précise.

Étapes de la méthode :

  1. Vérifier que la courbe est bien une parabole
  2. Identifier les coordonnées du sommet (h, k)
  3. Déterminer si a > 0 ou a < 0 selon l'orientation des branches
  4. Utiliser un point connu de la courbe pour calculer la valeur exacte de a

Méthode essentielle : Pour une fonction de forme f(x) = ax² + b, le sommet a pour coordonnées (0, b). Il suffit ensuite d'utiliser un autre point de la courbe et de résoudre l'équation pour trouver a.

Exemple pratique :

  • Si le sommet de la parabole est au point (0, 3) et que f(1) = 4, on sait que f(x) = ax² + 3
  • En remplaçant dans l'équation : a×1² + 3 = 4
  • On résout : a + 3 = 4, donc a = 1
  • L'expression de la fonction est donc f(x) = x² + 3

Cette compétence est fondamentale pour résoudre les exercices de forme canonique des fonctions polynômes du second degré et permet d'établir le lien entre la représentation graphique et l'expression algébrique d'une fonction.

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J'adore cette application ❤️ Je l'utilise presque tout le temps pour réviser.

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Maths

 

Maths

•

338

•

5 févr. 2022

•

4 pages

Polynômes de Second Degré : Cours et Exemples Corrigés

A

Assia

@assia13.2005

Les fonctions polynômes du second degré sont un sujet fascinant en mathématiques qui joue un rôle crucial dans la résolution de nombreux problèmes réels. Ces fonctions, de la forme f(x) = ax² + bx + c, se caractérisent par leur... Affiche plus

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Définition des fonctions polynômes du second degré

Une fonction polynôme du second degré est définie sur ℝ par l'expression f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels avec a ≠ 0.

Points importants :

  • La présence du terme ax² (avec a ≠ 0) est essentielle pour qu'une fonction soit du second degré
  • Le coefficient a détermine l'ouverture et l'orientation de la parabole
  • Les coefficients b et c influencent la position de la parabole dans le plan

Exemples :

  • f(x) = x² - 3 - 2x + 1 est une fonction polynôme du second degré (on peut réorganiser en x² - 2x - 2)
  • g(x) = 3x² + 1 est une fonction polynôme du second degré (a = 3, b = 0, c = 1)
  • h(x) = 2x + 3 n'est PAS une fonction polynôme du second degré (absence de x²)

Concept clé : La représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré est toujours une parabole. Lorsque a > 0, la parabole est orientée vers le haut (forme en "U"), et lorsque a < 0, elle est orientée vers le bas (forme en "∩").

Il est important de savoir reconnaître rapidement si une fonction est un polynôme du second degré pour appliquer les bonnes méthodes de résolution dans les exercices.

![Représentation d'une parabole avec l'équation y = x² - 3]

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Association d'une fonction du second degré à sa représentation graphique

Pour associer correctement une fonction polynôme du second degré à sa représentation graphique, plusieurs éléments doivent être analysés :

Points d'observation importants :

  • La position du sommet de la parabole
  • L'orientation des branches (vers le haut ou vers le bas)
  • L'ouverture de la parabole (plus ou moins évasée)

Méthode d'analyse :

  1. Identifier les coordonnées du sommet de la parabole
  2. Déterminer l'orientation des branches (a > 0 ou a < 0)
  3. Comparer l'ouverture des paraboles (valeur absolue de a)

Astuce pratique : Pour une fonction de forme f(x) = ax² + b, le sommet de la parabole a pour coordonnées (0, b). Si a > 0, les branches sont tournées vers le haut, et si a < 0, elles sont tournées vers le bas.

Exemple d'application :

  • Une parabole dont le sommet est à l'origine (0, 0) correspond à une fonction de type f(x) = ax²
  • Une parabole avec un sommet au point (0, 3) et des branches vers le bas correspond à une fonction de type f(x) = -ax² + 3
  • L'ouverture de la parabole est inversement proportionnelle à la valeur absolue de a

Cette méthode permet de résoudre efficacement les exercices corrigés sur les polynômes du second degré, notamment ceux demandant d'associer plusieurs fonctions à leurs représentations graphiques.

1° stmg 2021/2022 C5 Les fonctions polynômes de degré 2 (Partie 1) I. Définition Les fonctions, definies sut 1R₁ Par f6x) = ax ² + B sont de

Détermination graphique de l'expression d'une fonction polynôme du second degré

Lorsqu'on nous donne la représentation graphique d'une fonction polynôme du second degré, on peut retrouver son expression en suivant une méthode précise.

Étapes de la méthode :

  1. Vérifier que la courbe est bien une parabole
  2. Identifier les coordonnées du sommet (h, k)
  3. Déterminer si a > 0 ou a < 0 selon l'orientation des branches
  4. Utiliser un point connu de la courbe pour calculer la valeur exacte de a

Méthode essentielle : Pour une fonction de forme f(x) = ax² + b, le sommet a pour coordonnées (0, b). Il suffit ensuite d'utiliser un autre point de la courbe et de résoudre l'équation pour trouver a.

Exemple pratique :

  • Si le sommet de la parabole est au point (0, 3) et que f(1) = 4, on sait que f(x) = ax² + 3
  • En remplaçant dans l'équation : a×1² + 3 = 4
  • On résout : a + 3 = 4, donc a = 1
  • L'expression de la fonction est donc f(x) = x² + 3

Cette compétence est fondamentale pour résoudre les exercices de forme canonique des fonctions polynômes du second degré et permet d'établir le lien entre la représentation graphique et l'expression algébrique d'une fonction.

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Exercices d'association entre fonctions et représentations graphiques

Pour maîtriser les fonctions polynômes du second degré, il est essentiel de s'entraîner à faire le lien entre les expressions algébriques et leurs représentations graphiques.

Types d'exercices proposés :

  • Association de plusieurs fonctions à leurs courbes respectives
  • Analyse des caractéristiques des paraboles (sommet, orientation, ouverture)
  • Comparaison de l'influence des coefficients sur la forme des courbes

Points à observer pour chaque fonction :

  • Pour f(x) = x² + 1 : parabole orientée vers le haut avec sommet en (0, 1)
  • Pour g(x) = x² : parabole orientée vers le haut avec sommet à l'origine
  • Pour h(x) = -0,2x² + 2 : parabole orientée vers le bas avec sommet en (0, 2) et ouverture large
  • Pour m(x) = -3x² : parabole orientée vers le bas avec sommet à l'origine et ouverture étroite

Exercice type : Dans les exercices corrigés PDF sur les polynômes du second degré, on demande souvent d'associer des fonctions comme f(x) = 2x² + 1 ou g(x) = -2x² + 1 à leurs représentations graphiques. La différence réside dans l'orientation et la position du sommet de la parabole.

Ces exercices permettent de développer l'intuition graphique et de comprendre visuellement l'impact des paramètres a, b et c sur la représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2.

Si on te demande...

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Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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