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Maths - les limites

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Maths - les limites

 Définition:
On dit que la suite (Un) tend vers +∞ quand n tend vers +∞, si Un € ]A ; +∞ [ où A > 0. Ainsi, on dit
que la suite (Un) diverge

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Définition: On dit que la suite (Un) tend vers +∞ quand n tend vers +∞, si Un € ]A ; +∞ [ où A > 0. Ainsi, on dit que la suite (Un) diverge et on le note lim Un = +∞ ¸ + + 0 + + VR A -10- n -20+ 20 20 10 0 N u xxxxxx Aun 4 + + ++N 0 2 10 + + Maths - Les limites + + + + On dit que la suite (Un) tend vers - quand n tend vers +∞, si Un € ] -∞ ; A [ où A <0. Ainsi, on dit que la suite (Un) diverge et on le note lim Un = -∞ . Définition: Un dit que la suite (Un) tend vers un réel L quand n tend vers +∞, si Un € ]a ; b[ et que LE ]a; b[ . On dit que Un converge et le note lim Un = L. + + u 4 6 8 10 12 14 16 10 n 20 n -A Théorème: Lorsque une suite (Un) possède une limite L, cette dernière est unique. Une suite qui ne converge pas diverge : soit vers +∞ ou vers -∞, soit n'avoir pas de limite. Propriété : Les suites (√n), (n) et (n^k) avec k E IN* sont divergeante vers +∞ quand n tend vers +∞. Les suites (1/√n), (1/n) et (1/n^k) sont convergeantes vers 0 quand n tend vers +∞. La suite Un =(-1)^n n'a pas de...

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limite et prend alternativement les valeurs -1 et 1. Les suites (cos n) et (sin n) n'ont pas de limites et sont comprises entre -1 et 1. Propriété : Soit (Un) et (Vn) deux suites, Let L' deux réels : (u) a pour limite l l +00 +00 - 00 (v₁) a pour limite +00 +00 <-00 - 00 +00 (u + v) n a pour limite l + l' +00 -00 +00 indéterminée -00 indéterminée (u xv) a pour limite l xl' +∞ si l > 0 -∞ si l <0 indéterminée si l = 0 -∞o si l > 0 +∞ si l <0 indéterminée si l = 0 +∞ -00 +00 -00 (u) a pour limite l l # 0 +00 -0 +∞o 0 (v) a pour limite l' # 0 +∞ ou Théorème: Soit (Un) et (Vn) deux suites convergentes. On suppose qu'il existe un entier naturel n(0) tel que pour tout entier n > n(0), Un ≤ Vn: • alors lim Un ≤ lim Vn 0+ 0- l' l' +∞o 0 0+ signifie que lim Vn = 0 et que Vn > 0 à partir d'un certain rang. 0- signifie que lim Vn = 0 et que Vn < 0 à partir d'un certain rang. Théorème: Soit (Un), (Vn) et (Wn) trois sites, et L un réel. On suppose que : il existe un entier naturel n(0) tel que n > n(0), Vn ≤ Un ≤ Wn; • lim Vn = lim Wn = L Donc la suite (Un) converge et sa limite est lim Un = L. 5 4 3 2 1 0 2 1 0 -1 -2+ 5² 5² Théorème: Soit (Un) et (Vn) deux suites. On suppose qu'il existe un entier n(0) tel que pour tout n > n(0) on a Un ≤ Vn. Ainsi si lim Un = +∞ alors lim Vn = +∞, et si lim Un = -∞ alors lim Vn = -∞ "n U V n +∞ si l'>0 ou l' = 0+ -∞ si l' <0 ou l' = 0- n -∞ si l'> 0 ou l' = 0+ +∞ si l' <0 ou l' = 0- indéterminée + a pour limite +∞ si l > 0 -∞ si l <0 U V W n n + + + 1 + 1 2 -∞ si l > 0 +∞ si l <0 -N 0 indéterminée + -N+ + 3 ++m H +++ + T + Hilto HIN + 4 5 6 + +00 + ·00 7 8 n n Propriété : La limite d'une suite géométrique, soit q, la raison, est un réel : Si q > 1, alors lim q^n = +∞ Si q=1, alors lim q^n = 1 ● ● ● ● Si -1 <q < 1, alors lim q^n = 0 Si q≤-1, alors la suite (q^n) n'a pas de limite. Définition: Soit (Un) une suite définie à partir d'un rang k: On dit que (Un) est majorée s'il existe un réel M tel que Un ≤ M; • On dit que (Un) est minorée s'il existe un réel m tel que Un ≥ m; • On dit que (Un) est bornée quand elle est majorée et minorée m≤Un≤M. Propriété : 1) Toute suite croissante majorée converge. 2) Toute suite croissante non majorée diverge vers +∞. 3) Toute suite décroissante minorée converge. 4) Toute suite décroissante non minorée diverge vers -∞.

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Merci beaucoup, c'est vraiment utile d'autant plus que nous sommes en train de l'apprendre en ce moment 😁

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