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Définition:
Une suite numérique U est une fonction définie sur IN à valeurs dans |R. Pour tout entier naturel
n, le nombre U

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Maths - Suites Définition: Une suite numérique U est une fonction définie sur IN à valeurs dans |R. Pour tout entier naturel n, le nombre U(n) est appelé terme de range n ou terme général de la suite, on note alors cette suite de la manière suivante : (un)neN, OU (Un)n>0, encore (un). Une suite est définie par une formule explicite lorsque U(n) s'exprime directement en fonction de n, dans ce cas on calculer chaque terme à partir de son indice. Définition: Une suite est définie par une formule explicite se représente graphiquement par un nuage de points de coordonnées (n; u(n)). Ces points forment la courbe représentative de la fonction f sachant que f(n) = U(n). Définition: Une suite est dite convergente quand elle est admet une limite réelle L, soit quand tous les termes de la suite U(n) sont proches de L à partir d'un certain rang. Dans ce cas on dit que U tend vers 0 quand n tend vers + infini, la suite U converge vers 0. -1 1- 0,5 terme " y 0 16- U₂ 11₂- THE llo 1. 0 Aa Définition: Une suite est définie par une relation de récurrence quand elle est définie par la donnée de son premier terme et celle d'une relation qui permet de calculer chaque terme à partir de son précédent : U(n+1). 1 A₁ Définition: Une suite U(n) définie sur IN est : - croissante si et seulement si,...

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pour tout entier naturel n, on a U(n+1) ≥ U(n) ; - décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n, on a U(n+1) ≤ U(n) ; - constante si et seulement si, pour tout entier naturel n, on a U(n+1) = U(n). Quand une suite est toujours croissante, ou toujours décroissante, on dit qu'elle est monotone. Méthode: Pour savoir le sens de variation d'une suite on étudie la différence entre deux termes consécutifs quelconques : - croissante si et seulement si, pour tout entier naturel n, on a U(n+1)- U(n) ≥ 0 ; - décroissante si et seulement si, pour tout entier naturel n, on a U(n+1) - U(n) ≤ 0 ; - constante si et seulement si, pour tout entier naturel n, on a U(n+1) - U(n) = 0. A₂ 2 2 A 3 3 . 4 A 5 ● 6 7 ● indice n 8 ● 9 • 10 11 X WW Définition: Une suite est dite divergente quand elle n'est pas convergente. Elle peut avoir des valeurs qui ne font qu'augmenter ou tendre vers l'infini, sans limite. y 1+ 0 -1. • 2 4 6 8 10 12 14 16 Propriété : Une suite arithmétique U(n) de raison r: - si r > 0, la suite U(n) est croissante; - si r < 0, la suite U(n) est décroissante ; = 0, la suite U(n) est constante. -r= . Un 0 Si q = 1, la suite U(n) est constante. Si 0 <q < 1: si U(0) > 0, la suite est décroissante; si U(0) < 0, la suite est croissante. 18 20 ir>0 X 2 4 6 8 60 n Propriété : Une suite géométrique U(n) de premier terme non nul et de raison q. Si q> 1 : - si U(0) > 0, alors la suite est croissante; - si U(0) < 0, alors la suite est décroissante. 50 40 30 Définition: Une suite U(n) est arithmétique si et seulement si il existe un réel r appelé raison tel que, pour tout n E IN: U(n+1) = U(n) + r. Ainsi pour tout entier naturel n, on a : U(n) = U(0) + n*r et plus généralement, pour tout p E IN on a : U(n) = U(p) + (n-p)*r, avec n>p. De là, r est la différence entre deux termes consécutifs quelconques : r = U(n+1) - U(n). 20 10 0 y O Un • 1 2 3 4 5 6 7 8 9 2 4 x -r> 0 (car r < 0) 6 8 Propriété : Soit U(n) une suite arithmétique dont on souhaite connaître la somme des termes consécutifs : S = (n+ 1) * U(0) + U(n) 2 De plus, la somme des n premiers entiers non nul est: 1 + 2 + 3 + ... + n = n* (n + 1) / 2. Définition: Une suite U(n) est géométrique si et seulement si il existe un réel q appelé raison tel que, pour tout n E IN: U(n+1) = U(n) * q. Ainsi pour tout entier naturel n, on a : U(n) = U(0) * q^n et plus généralement, pour tout p E IN on a : U(n) = U(p) + q^n-p, avec n > p. De là, r est la différence entre deux termes consécutifs quelconques : r = U(n+1) - U(n). Si q = 0, la suite U(n) est constante et vaut 0 à partir du deuxième terme. Si q < 0, la suite U(n) n'a pas de variations régulières, on dit qu'elle n'est pas monotone. n * * Propriété : Soit U(n) une suite géométrique de raison q # 1. La formule suivante donne la somme des termes consécutifs : * S = U(0) * 1- q^(n+1) 1- q Propriété : Soit un entier naturel n non nul et q un réel différent de 1: 1+q+q^2 + q^3 + q^4 + q^5 + ... + q^n = (1 - q^n+1) / (1 -q) Théorème: Soit q un réel différent de 1: - Si q> 1, la suite q^n diverge vers + infini; - Si -1 <q < 1, la suite q^n converge vers 0; - Si q ≤ -1, la suite q^n diverge et n'admet pas de limite. Propriété : Si q> 1: - si U(0) > 0, la suite U(n) a pour limite + infini ; - si U(0) <0, la suite U(n) a pour limite - infini. Si -1 <q < < 1, la suite U(n) converge vers 0. Si q ≤ -1, la suite U(n) diverge et n'admet pas de limite.

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Quel belle fiche 😍😍 c'est sûr qu'elle va beaucoup aider

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