Sens de Variation des Suites Numériques

Ce document explore le concept crucial du sens de variation des suites numériques en mathématiques. Il présente les critères fondamentaux pour déterminer si une suite est croissante ou décroissante, offrant ainsi une base solide pour définir une suite monotone en mathématiques.

Définition: Une suite est dite croissante si pour tout n, Un+1 - Un > 0. Elle est décroissante si pour tout n, Un+1 - Un ≤ 0.

Highlight: Une suite est qualifiée de monotone si elle est soit croissante, soit décroissante. Cette caractéristique est essentielle pour comprendre le comportement global d'une suite numérique.

Le document fournit ensuite un exemple de suite croissante et décroissante pour illustrer ces concepts :

Example: Soit u la suite définie sur N par Un = n² - 7. L'analyse de Un+1 - Un permet de déterminer le sens de variation de cette suite.

En développant l'expression Un+1 - Un, on obtient :

Un+1 - Un = (n² + 2n + 1 - 7) - (n² - 7) = 2n + 1

Highlight: Comme n est un nombre entier naturel, 2n + 1 est toujours positif. Par conséquent, Un+1 - Un > 0 pour tout n, ce qui prouve que la suite est croissante.

Cette démonstration mathématique rigoureuse illustre parfaitement comment analyser le sens de variation d'une suite numérique. Elle montre l'importance de la comparaison entre deux termes consécutifs pour déterminer si une suite est croissante ou décroissante.

Vocabulary: Monotone - Une suite est dite monotone si elle conserve le même sens de variation (croissant ou décroissant) tout au long de son évolution.

En conclusion, ce document offre une introduction claire et concise au sens de variation des suites numériques, fournissant les outils nécessaires pour analyser et définir une suite monotone en mathématiques. L'exemple détaillé d'une suite croissante renforce la compréhension pratique de ces concepts fondamentaux en analyse mathématique.