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Multiples, diviseurs, nombres premiers et racines carrées
Multiples, diviseurs, nombres premiers et racines carrées
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Laura
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Cette fiche traite de trois grands thèmes : les multiples et diviseurs ; les nombres premiers ; les racines carrées
2nde
Fiche de révision
MULTIPLES, DIVISEURS, NOMBRES PREMIERS ET RACINES CARREES Multiples, diviseurs et nombres premiers Si a est un multiple de b, alors a s'écrit a = b x k. On dit aussi que a est divisible par b ou que b est diviseur de a. Un nombre premier est un entier naturel qui a exactement deux diviseurs : 1 et lui-même. Les 10 premiers nombres premiers sont : 2; 3; 5; 7; 11; 13; 17; 19; 23; 29. Un diviseur commun à deux nombres entiers a et b est un nombre qui divise a et qui divise b. On dit que deux nombres sont premiers entre eux si leur seul diviseur commun est 1. Le plus grand diviseur commun à deux nombres entiers a et b s'appelle le PGCD. Pour le trouver on multiplie tous les diviseurs communs entre eux. Une fraction est dite irréductible lorsqu'on ne peut plus la simplifier, c'est-à-dire lorsque son numérateur et son dénominateur sont premiers entre eux. Un nombre n est pair s'il est divisible par 2. Il s'écrit sous la forme : n = 2 x k. Un nombre n est impair s'il n'est pas divisible par 2. Il s'écrit sous la forme : n=2xk+1 Démontrer que le carré d'un nombre impair est impair: Un nombre impair s'écrit n =...
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Légende alternative :
2k + 1 n² = (2k + 1)² = (2k)² + 2 x 2k x 1 + 1² = 4k² + 4k + 1 n² s'écrit n² = 2 x K + 1 avec K = 2k² + 2k Remarque : le carré d'un nombre pair est pair. Les racines carrées : La racine carrée de a est le nombre, toujours positif, noté √a, dont le carré est a. Carrés parfaits : 2²=4 3²=9 4² = 16 5² = 25 6² = 36 7² = 49 8² = 64 9² = 81 10² = 100 11² = 121 12² 144 13² = 169 = Extraire un carré parfait : A = √72 A = √36 × 2 A = √36 x √2 A = 6 x √2 A = 6√2 Simplifier les écritures contenant des racines carrées : A = 4√3-2√3+ 6√3 = (4 − 2 + 6) × √√3 = 8√3 B=√12 +7√√3-√√27 = √3 × 4 + 7√√3 − √√3 × 9 = √√4 × √√3 +7√3 − √9 × √√3 = 2√√3+7√√3 −3√√3 = 6√3 Racines carrées et développement : A = (√3-4)² = √√3² − 2 × √√3 × 4 + 4² = 3 − 8√3 + 16 = 19 - 8√3 V B = (3 + √5)² = 3² + 2 × 3 × √√5 + √5² = 9 + 6√5 + 5 = 14 + 6√5 c=(√2-√5)(√2+ √5)=√√2²-√√5² = 2-5=-3 D = (4 + 3√2)(-2+√3)= 4 × (-2) + 4√3+ 3√√2 × (-2) + 3√√2 x √3= −8+4√3-6√2+ 3√6 L'expression conjuguée : L'expression conjuguée de a +b√c est: a - b√c On utilise l'expression conjuguée pour éliminer une racine carrée au dénominateur d'une fraction : 3 3x (1-√2) 3-3√2 3-3√2 3-3√2 = −3+ 3√2 1+√2 (1+√2)×(1-√2) 1-2 1²-√2² -1 = = = = Prouver une égalité : 1ère méthode : on part de l'expression A, on transforme A, on trouve B. 2ème méthode : on part de l'expression B, on transforme B, on trouve A. 3ème méthode : on transforme A, on transforme B, on trouve le même résultat. Prouver que 32n = 9n: B = 9n = (3²)n = 3²×n = 3²n
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2k + 1 n² = (2k + 1)² = (2k)² + 2 x 2k x 1 + 1² = 4k² + 4k + 1 n² s'écrit n² = 2 x K + 1 avec K = 2k² + 2k Remarque : le carré d'un nombre pair est pair. Les racines carrées : La racine carrée de a est le nombre, toujours positif, noté √a, dont le carré est a. Carrés parfaits : 2²=4 3²=9 4² = 16 5² = 25 6² = 36 7² = 49 8² = 64 9² = 81 10² = 100 11² = 121 12² 144 13² = 169 = Extraire un carré parfait : A = √72 A = √36 × 2 A = √36 x √2 A = 6 x √2 A = 6√2 Simplifier les écritures contenant des racines carrées : A = 4√3-2√3+ 6√3 = (4 − 2 + 6) × √√3 = 8√3 B=√12 +7√√3-√√27 = √3 × 4 + 7√√3 − √√3 × 9 = √√4 × √√3 +7√3 − √9 × √√3 = 2√√3+7√√3 −3√√3 = 6√3 Racines carrées et développement : A = (√3-4)² = √√3² − 2 × √√3 × 4 + 4² = 3 − 8√3 + 16 = 19 - 8√3 V B = (3 + √5)² = 3² + 2 × 3 × √√5 + √5² = 9 + 6√5 + 5 = 14 + 6√5 c=(√2-√5)(√2+ √5)=√√2²-√√5² = 2-5=-3 D = (4 + 3√2)(-2+√3)= 4 × (-2) + 4√3+ 3√√2 × (-2) + 3√√2 x √3= −8+4√3-6√2+ 3√6 L'expression conjuguée : L'expression conjuguée de a +b√c est: a - b√c On utilise l'expression conjuguée pour éliminer une racine carrée au dénominateur d'une fraction : 3 3x (1-√2) 3-3√2 3-3√2 3-3√2 = −3+ 3√2 1+√2 (1+√2)×(1-√2) 1-2 1²-√2² -1 = = = = Prouver une égalité : 1ère méthode : on part de l'expression A, on transforme A, on trouve B. 2ème méthode : on part de l'expression B, on transforme B, on trouve A. 3ème méthode : on transforme A, on transforme B, on trouve le même résultat. Prouver que 32n = 9n: B = 9n = (3²)n = 3²×n = 3²n