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Comprendre la Racine Carrée d'un Nombre Complexe : Exercices Corrigés et PDF

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19/06/2023

Maths

Nombres complexes

Comprendre la Racine Carrée d'un Nombre Complexe : Exercices Corrigés et PDF

Les nombres complexes et leurs racines carrées constituent un domaine fondamental des mathématiques avancées.

Les nombres complexes sont nés de la nécessité de résoudre des équations comme x²+1=0, où apparaît la fameuse unité imaginaire i telle que i²=-1. Cette innovation mathématique a permis d'étendre considérablement le champ des mathématiques au-delà des nombres réels. La racine carrée d'un nombre complexe peut être calculée selon une méthode précise qui nécessite de passer par la forme trigonométrique. Pour résoudre une équation du second degré dans l'ensemble des complexes, comme ax²+bx+c=0, il faut d'abord identifier le discriminant puis appliquer la formule adaptée qui donnera les solutions complexes.

L'utilisation des nombres complexes s'étend bien au-delà des mathématiques pures. Dans la vie courante, ils trouvent des applications concrètes en électricité, en mécanique quantique et en traitement du signal. La compréhension des racines complexes est essentielle pour l'étude des polynômes de degré 2 et supérieur. Les propriétés fondamentales comme le carré d'un nombre négatif est positif prennent tout leur sens dans ce contexte. Pour maîtriser ces concepts, il est recommandé de s'exercer avec des exercices corrigés qui permettent de progresser pas à pas, en partant des équations simples comme résoudre dans R les équations de base jusqu'aux calculs plus complexes impliquant des nombres imaginaires.

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19/06/2023

2018

NOMBRES COMPLEXES
I. INTRODUCTION ET DEFINITION
Tous les nombres positifs ont une racine carrée, par exemple, 9 a pour racine 3 et -3 et 2 a

Voir

Les Nombres Complexes : Introduction et Définitions Fondamentales

Les nombres complexes représentent une extension fascinante des nombres réels, créée pour résoudre des équations qui n'ont pas de solutions dans l'ensemble des réels. Le concept central repose sur le nombre imaginaire i, défini tel que i²=-1. Cette innovation mathématique permet de calculer les racines carrées de nombres négatifs.

Définition: Un nombre complexe z s'écrit sous la forme a + bi, où a est la partie réelle et b la partie imaginaire, avec a et b appartenant à l'ensemble des nombres réels.

L'histoire des nombres complexes remonte au XVIe siècle, mais c'est Euler qui introduisit la notation i en 1777, reprise ensuite par Gauss. Ces nombres forment un ensemble noté ℂ qui contient tous les nombres réels R et permet d'effectuer toutes les opérations algébriques habituelles.

Remarque: Contrairement aux nombres réels, les nombres complexes ne peuvent pas être ordonnés. On ne peut pas dire qu'un nombre complexe est plus grand qu'un autre.

NOMBRES COMPLEXES
I. INTRODUCTION ET DEFINITION
Tous les nombres positifs ont une racine carrée, par exemple, 9 a pour racine 3 et -3 et 2 a

Voir

Forme Algébrique et Opérations sur les Nombres Complexes

La manipulation des nombres complexes nécessite une compréhension approfondie de leur forme algébrique. Pour tout nombre complexe z = a + bi, les opérations suivent des règles précises basées sur les propriétés de i.

Exemple: Pour calculer 3+2i3 + 2i32i3 - 2i, on développe comme un produit remarquable : 3+2i3 + 2i32i3 - 2i = 3² + 2i2i² = 9 + 4 = 13

Les opérations fondamentales addition,soustraction,multiplicationaddition, soustraction, multiplication s'effectuent en respectant les règles de calcul algébrique et en tenant compte de la propriété i carré=-1. La division nécessite souvent l'utilisation du conjugué pour rationaliser le dénominateur.

Vocabulaire: Le conjugué d'un nombre complexe z = a + bi est z̄ = a - bi. Cette notion est essentielle pour la division des nombres complexes.

NOMBRES COMPLEXES
I. INTRODUCTION ET DEFINITION
Tous les nombres positifs ont une racine carrée, par exemple, 9 a pour racine 3 et -3 et 2 a

Voir

Représentation Géométrique des Nombres Complexes

La représentation géométrique des nombres complexes constitue un pont remarquable entre l'algèbre et la géométrie. Dans le plan complexe, chaque point M correspond à un nombre complexe z = a + bi, où a représente l'abscisse et b l'ordonnée.

Définition: L'affixe d'un point M est le nombre complexe z = a + bi correspondant à ses coordonnées a,ba,b dans le plan complexe.

Cette représentation permet de visualiser les opérations sur les nombres complexes comme des transformations géométriques. Par exemple, la multiplication par i correspond à une rotation de 90° dans le sens antihoraire.

NOMBRES COMPLEXES
I. INTRODUCTION ET DEFINITION
Tous les nombres positifs ont une racine carrée, par exemple, 9 a pour racine 3 et -3 et 2 a

Voir

Applications et Propriétés Avancées

Les nombres complexes trouvent de nombreuses applications dans la vie courante, notamment en électricité, en mécanique quantique et en traitement du signal. Leur structure algébrique riche permet de résoudre des problèmes impossibles dans ℝ.

Highlight: Les propriétés fondamentales des nombres complexes incluent :

  • Pour tout z complexe, zz̄ est un nombre réel positif
  • La somme des conjugués est le conjugué de la somme
  • Le produit des conjugués est le conjugué du produit

La maîtrise des nombres complexes ouvre la voie à la compréhension de concepts mathématiques plus avancés comme les transformations du plan, les équations polynomiales et l'analyse complexe.

NOMBRES COMPLEXES
I. INTRODUCTION ET DEFINITION
Tous les nombres positifs ont une racine carrée, par exemple, 9 a pour racine 3 et -3 et 2 a

Voir

Les Nombres Complexes : Forme Trigonométrique et Propriétés Fondamentales

La forme trigonométrique des nombres complexes permet une représentation géométrique essentielle pour comprendre leur comportement. Pour tout nombre complexe non nul z, on peut écrire z = rcosθ+isinθcos θ + i sin θ, où r est le module et θ l'argument.

Définition: Le module d'un nombre complexe z = a + bi est défini par |z| = √a2+b2a² + b². Il représente la distance entre le point d'affixe z et l'origine dans le plan complexe.

Les propriétés fondamentales du module incluent:

  • |z| = 0 si et seulement si z = 0
  • |zz'| = |z| × |z'|
  • |z/z'| = |z|/|z'| pour z' ≠ 0
  • |z̄| = |z|

Exemple: Pour calculer le module de z = 3 + 4i : |z| = √32+423² + 4² = √9+169 + 16 = √25 = 5

NOMBRES COMPLEXES
I. INTRODUCTION ET DEFINITION
Tous les nombres positifs ont une racine carrée, par exemple, 9 a pour racine 3 et -3 et 2 a

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Applications et Exercices sur les Nombres Complexes

Pour résoudre des problèmes impliquant des nombres complexes, il est crucial de maîtriser les opérations dans leur forme trigonométrique.

Astuce: Pour multiplier deux nombres complexes en forme trigonométrique: z₁ = r₁cosθ1+isinθ1cos θ₁ + i sin θ₁ et z₂ = r₂cosθ2+isinθ2cos θ₂ + i sin θ₂ z₁z₂ = r₁r₂cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂)

Les applications géométriques sont nombreuses, notamment pour:

  • Calculer des distances dans le plan complexe
  • Déterminer la nature des triangles
  • Étudier les transformations du plan
NOMBRES COMPLEXES
I. INTRODUCTION ET DEFINITION
Tous les nombres positifs ont une racine carrée, par exemple, 9 a pour racine 3 et -3 et 2 a

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Propriétés Géométriques des Nombres Complexes

L'interprétation géométrique des nombres complexes offre des outils puissants pour résoudre des problèmes de géométrie plane.

Important: Pour tout point M d'affixe z dans le plan complexe:

  • La distance OM = |z|
  • L'angle Ox,OMOx,OM = argzz
  • Les coordonnées de M sont Re(zRe(z, Imzz)

Les transformations du plan s'expriment élégamment avec les nombres complexes:

  • La rotation d'angle α: z → ze^iα
  • L'homothétie de rapport k: z → kz
  • La translation de vecteur u: z → z + u
NOMBRES COMPLEXES
I. INTRODUCTION ET DEFINITION
Tous les nombres positifs ont une racine carrée, par exemple, 9 a pour racine 3 et -3 et 2 a

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Résolution d'Équations dans le Corps des Complexes

La résolution d'équations dans C nécessite la maîtrise des formes algébrique et trigonométrique.

Méthode: Pour résoudre z² = a aCa ∈ C:

  1. Écrire a sous forme trigonométrique: a = rcosθ+isinθcos θ + i sin θ
  2. Les solutions sont z = ±√rcos(θ/2cos(θ/2 + i sinθ/2θ/2)

Les équations polynomiales dans C admettent toujours des solutions, contrairement à R. Cette propriété fondamentale est connue sous le nom de théorème fondamental de l'algèbre.

Les applications pratiques incluent:

  • L'étude des circuits électriques
  • La mécanique quantique
  • Le traitement du signal
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I. INTRODUCTION ET DEFINITION
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Les Nombres Complexes : Formes Trigonométriques et Exponentielles

La manipulation des nombres complexes nécessite une compréhension approfondie des formes trigonométriques et exponentielles. Ces concepts fondamentaux en mathématiques permettent de résoudre des équations qui seraient impossibles dans l'ensemble des nombres réels, notamment grâce à la propriété i²=-1.

Dans le cas des formes trigonométriques, un nombre complexe z peut s'écrire sous la forme z = rcosθ+isinθcos θ + i sin θ, où r représente le module et θ l'argument. Cette représentation est particulièrement utile pour effectuer des multiplications et des puissances de nombres complexes.

Définition: La forme trigonométrique d'un nombre complexe z = a + bi peut s'écrire z = rcosθ+isinθcos θ + i sin θ où r = √a2+b2a² + b² est le module et θ = arctanb/ab/a est l'argument.

Pour la multiplication de deux nombres complexes en forme trigonométrique, on multiplie les modules et on additionne les arguments. Par exemple, si z₁ = r₁cosθ1+isinθ1cos θ₁ + i sin θ₁ et z₂ = r₂cosθ2+isinθ2cos θ₂ + i sin θ₂, alors z₁ × z₂ = r₁r₂cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂).

Exemple: Pour z₁ = 2√2cosπ/4+isinπ/4cos π/4 + i sin π/4 et z₂ = 2cosπ/3+isinπ/3cos π/3 + i sin π/3, leur produit sera z₁ × z₂ = 4√2cos(7π/12)+isin(7π/12)cos(7π/12) + i sin(7π/12)

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L'application est très simple à utiliser et bien faite. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais :D

Lola, utilisatrice iOS

J'adore cette application ❤️ Je l'utilise presque tout le temps pour réviser.

 

Maths

2 018

19 juin 2023

18 pages

Comprendre la Racine Carrée d'un Nombre Complexe : Exercices Corrigés et PDF

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@t.legall42

Les nombres complexes et leurs racines carrées constituent un domaine fondamental des mathématiques avancées.

Les nombres complexes sont nés de la nécessité de résoudre des équations comme x²+1=0, où apparaît la fameuse unité imaginaire i telle que i²=-1.... Affiche plus

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Les Nombres Complexes : Introduction et Définitions Fondamentales

Les nombres complexes représentent une extension fascinante des nombres réels, créée pour résoudre des équations qui n'ont pas de solutions dans l'ensemble des réels. Le concept central repose sur le nombre imaginaire i, défini tel que i²=-1. Cette innovation mathématique permet de calculer les racines carrées de nombres négatifs.

Définition: Un nombre complexe z s'écrit sous la forme a + bi, où a est la partie réelle et b la partie imaginaire, avec a et b appartenant à l'ensemble des nombres réels.

L'histoire des nombres complexes remonte au XVIe siècle, mais c'est Euler qui introduisit la notation i en 1777, reprise ensuite par Gauss. Ces nombres forment un ensemble noté ℂ qui contient tous les nombres réels R et permet d'effectuer toutes les opérations algébriques habituelles.

Remarque: Contrairement aux nombres réels, les nombres complexes ne peuvent pas être ordonnés. On ne peut pas dire qu'un nombre complexe est plus grand qu'un autre.

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Forme Algébrique et Opérations sur les Nombres Complexes

La manipulation des nombres complexes nécessite une compréhension approfondie de leur forme algébrique. Pour tout nombre complexe z = a + bi, les opérations suivent des règles précises basées sur les propriétés de i.

Exemple: Pour calculer 3+2i3 + 2i32i3 - 2i, on développe comme un produit remarquable : 3+2i3 + 2i32i3 - 2i = 3² + 2i2i² = 9 + 4 = 13

Les opérations fondamentales addition,soustraction,multiplicationaddition, soustraction, multiplication s'effectuent en respectant les règles de calcul algébrique et en tenant compte de la propriété i carré=-1. La division nécessite souvent l'utilisation du conjugué pour rationaliser le dénominateur.

Vocabulaire: Le conjugué d'un nombre complexe z = a + bi est z̄ = a - bi. Cette notion est essentielle pour la division des nombres complexes.

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La représentation géométrique des nombres complexes constitue un pont remarquable entre l'algèbre et la géométrie. Dans le plan complexe, chaque point M correspond à un nombre complexe z = a + bi, où a représente l'abscisse et b l'ordonnée.

Définition: L'affixe d'un point M est le nombre complexe z = a + bi correspondant à ses coordonnées a,ba,b dans le plan complexe.

Cette représentation permet de visualiser les opérations sur les nombres complexes comme des transformations géométriques. Par exemple, la multiplication par i correspond à une rotation de 90° dans le sens antihoraire.

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Highlight: Les propriétés fondamentales des nombres complexes incluent :

  • Pour tout z complexe, zz̄ est un nombre réel positif
  • La somme des conjugués est le conjugué de la somme
  • Le produit des conjugués est le conjugué du produit

La maîtrise des nombres complexes ouvre la voie à la compréhension de concepts mathématiques plus avancés comme les transformations du plan, les équations polynomiales et l'analyse complexe.

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Les Nombres Complexes : Forme Trigonométrique et Propriétés Fondamentales

La forme trigonométrique des nombres complexes permet une représentation géométrique essentielle pour comprendre leur comportement. Pour tout nombre complexe non nul z, on peut écrire z = rcosθ+isinθcos θ + i sin θ, où r est le module et θ l'argument.

Définition: Le module d'un nombre complexe z = a + bi est défini par |z| = √a2+b2a² + b². Il représente la distance entre le point d'affixe z et l'origine dans le plan complexe.

Les propriétés fondamentales du module incluent:

  • |z| = 0 si et seulement si z = 0
  • |zz'| = |z| × |z'|
  • |z/z'| = |z|/|z'| pour z' ≠ 0
  • |z̄| = |z|

Exemple: Pour calculer le module de z = 3 + 4i : |z| = √32+423² + 4² = √9+169 + 16 = √25 = 5

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Applications et Exercices sur les Nombres Complexes

Pour résoudre des problèmes impliquant des nombres complexes, il est crucial de maîtriser les opérations dans leur forme trigonométrique.

Astuce: Pour multiplier deux nombres complexes en forme trigonométrique: z₁ = r₁cosθ1+isinθ1cos θ₁ + i sin θ₁ et z₂ = r₂cosθ2+isinθ2cos θ₂ + i sin θ₂ z₁z₂ = r₁r₂cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂)

Les applications géométriques sont nombreuses, notamment pour:

  • Calculer des distances dans le plan complexe
  • Déterminer la nature des triangles
  • Étudier les transformations du plan
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L'interprétation géométrique des nombres complexes offre des outils puissants pour résoudre des problèmes de géométrie plane.

Important: Pour tout point M d'affixe z dans le plan complexe:

  • La distance OM = |z|
  • L'angle Ox,OMOx,OM = argzz
  • Les coordonnées de M sont Re(zRe(z, Imzz)

Les transformations du plan s'expriment élégamment avec les nombres complexes:

  • La rotation d'angle α: z → ze^iα
  • L'homothétie de rapport k: z → kz
  • La translation de vecteur u: z → z + u
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La résolution d'équations dans C nécessite la maîtrise des formes algébrique et trigonométrique.

Méthode: Pour résoudre z² = a aCa ∈ C:

  1. Écrire a sous forme trigonométrique: a = rcosθ+isinθcos θ + i sin θ
  2. Les solutions sont z = ±√rcos(θ/2cos(θ/2 + i sinθ/2θ/2)

Les équations polynomiales dans C admettent toujours des solutions, contrairement à R. Cette propriété fondamentale est connue sous le nom de théorème fondamental de l'algèbre.

Les applications pratiques incluent:

  • L'étude des circuits électriques
  • La mécanique quantique
  • Le traitement du signal
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Les Nombres Complexes : Formes Trigonométriques et Exponentielles

La manipulation des nombres complexes nécessite une compréhension approfondie des formes trigonométriques et exponentielles. Ces concepts fondamentaux en mathématiques permettent de résoudre des équations qui seraient impossibles dans l'ensemble des nombres réels, notamment grâce à la propriété i²=-1.

Dans le cas des formes trigonométriques, un nombre complexe z peut s'écrire sous la forme z = rcosθ+isinθcos θ + i sin θ, où r représente le module et θ l'argument. Cette représentation est particulièrement utile pour effectuer des multiplications et des puissances de nombres complexes.

Définition: La forme trigonométrique d'un nombre complexe z = a + bi peut s'écrire z = rcosθ+isinθcos θ + i sin θ où r = √a2+b2a² + b² est le module et θ = arctanb/ab/a est l'argument.

Pour la multiplication de deux nombres complexes en forme trigonométrique, on multiplie les modules et on additionne les arguments. Par exemple, si z₁ = r₁cosθ1+isinθ1cos θ₁ + i sin θ₁ et z₂ = r₂cosθ2+isinθ2cos θ₂ + i sin θ₂, alors z₁ × z₂ = r₁r₂cos(θ1+θ2)+isin(θ1+θ2)cos(θ₁ + θ₂) + i sin(θ₁ + θ₂).

Exemple: Pour z₁ = 2√2cosπ/4+isinπ/4cos π/4 + i sin π/4 et z₂ = 2cosπ/3+isinπ/3cos π/3 + i sin π/3, leur produit sera z₁ × z₂ = 4√2cos(7π/12)+isin(7π/12)cos(7π/12) + i sin(7π/12)

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La Notation Exponentielle des Nombres Complexes

La notation exponentielle des nombres complexes constitue une évolution naturelle de la forme trigonométrique, offrant une écriture plus concise et élégante. Cette notation s'appuie sur la formule d'Euler : eiθ = cos θ + i sin θ.

Vocabulaire: La forme exponentielle d'un nombre complexe z = rcosθ+isinθcos θ + i sin θ s'écrit z = reiθ, où e est le nombre d'Euler.

Cette notation présente plusieurs avantages majeurs. Elle simplifie considérablement les calculs de produits et de puissances de nombres complexes. En effet, pour multiplier deux nombres complexes en forme exponentielle, il suffit d'appliquer les règles classiques des exposants.

Point Important: La multiplication de deux nombres complexes en forme exponentielle z₁ = r₁eiθ₁ et z₂ = r₂eiθ₂ donne z₁ × z₂ = r₁r₂eiθ1+θ2θ₁+θ₂

Cette propriété découle directement de la fonction θ ↦ eiθ qui vérifie l'équation fonctionnelle caractéristique de la fonction exponentielle : eiθ1+θ2θ₁+θ₂ = eiθ₁ × eiθ₂. Cette relation fondamentale justifie l'utilisation du terme "exponentielle" dans cette notation.

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

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utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

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Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS