Dérivées et tangentes : méthode graphique, exemples et tableau

Nombre dérivé et tangente

Nombre dérivé

Il mesure la pente d'une courbe en un point d'abscisse $a$ et indique si la fonction monte ou descend.

• Utilité : Permet de trouver les maximums et minimums locaux sans tracer le graphique.

Équation de la tangente

La tangente est la droite qui effleure la courbe en un point en suivant sa direction. Son coefficient directeur est le nombre dérivé $f'(a)$.

• Formule : $y = f'(a)(x - a) + f(a)$

Exemple : Pour $f(x) = x^2$ en $a = 2$ avec $f(2)=4$ et $f'(2)=4$ :

• $y = 4(x - 2) + 4$
• $y = 4x - 4$

💡 Astuce : Graphiquement, le coefficient directeur se lit en comptant les carreaux : on avance de $1$ vers la droite, et on regarde de combien on monte ou descend pour rejoindre la tangente.

Taux de variation et formules

Taux d'accroissement

Pour trouver la pente exacte en un point, on calcule la limite du taux de variation lorsque l'écart $h$ tend vers $0$.

• Formule : $T(h) = \frac{f(a+h) - f(a)}{h}$
• Dérivée : $f'(a) = \lim_{h \to 0} T(h)$

Dérivées usuelles et opérations

Il faut connaître les dérivées de référence pour calculer rapidement.

• Puissances : La dérivée de $x^n$ est $n \cdot x^{n-1}$.
• Produit $u \cdot v$ : Formule $(u \cdot v)' = u'v + uv'$
• Quotient $\frac{u}{v}$ : Formule $(\frac{u}{v})' = \frac{u'v - uv'}{v^2}$

💡 Attention : La fonction racine carrée $f(x) = \sqrt{x}$ est définie sur $[0 ; +\infty[$, mais elle n'est dérivable que sur $]0 ; +\infty[$ car on ne peut pas diviser par zéro.