Rappels sur les vecteurs et le produit scalaire

Le produit scalaire est un outil fondamental pour étudier l'orthogonalité dans l'espace. Commençons par quelques rappels importants:

Vecteurs et normes

• Coordonnées d'un vecteur: $\overrightarrow{AB} \begin{pmatrix} x_B - x_A\\y_B - y_A\\z_B - z_A \end{pmatrix}$
• Norme d'un vecteur: $\parallel \overrightarrow{AB} \parallel = AB = \sqrt{(x_B - x_A)^2 + (y_B - y_A)^2 + (z_B - z_A)^2}$

Produit scalaire - Approches géométriques

• Avec un angle: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = AB \times AC \times \cos \widehat{BAC}$
• Avec le projeté orthogonal: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = AB \times AH$ (H étant le projeté de C sur AB)
• Cas particulier: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{u} = \parallel \overrightarrow{u} \parallel^2$ (carré de la norme)

Produit scalaire - Approche algébrique

• Avec les coordonnées: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = xx' + yy' + zz'$
• La norme s'écrit alors: $\parallel \overrightarrow{u} \parallel = \sqrt{x^2 + y^2 + z^2}$

Propriétés du produit scalaire

• Si $\overrightarrow{u} = \overrightarrow{0}$, alors $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 0$
• Commutativité: $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \overrightarrow{v}.\overrightarrow{u}$
• Distributivité: $\overrightarrow{u}.(\overrightarrow{v} + \overrightarrow{w}) = \overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} + \overrightarrow{u}.\overrightarrow{w}$

Concept clé: Deux vecteurs $\overrightarrow{u}$ et $\overrightarrow{v}$ non nuls sont orthogonaux si et seulement si $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = 0$. Cette formule est fondamentale pour tous les exercices d'orthogonalité dans l'espace.

Formules de polarisation

• $\parallel \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \parallel^2 = \parallel \overrightarrow{u} \parallel^2 + 2\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} + \parallel \overrightarrow{v} \parallel^2$
• $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \frac{1}{2}[\parallel \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \parallel^2 - \parallel \overrightarrow{u} \parallel^2 - \parallel \overrightarrow{v} \parallel^2]$
• $\overrightarrow{u}.\overrightarrow{v} = \frac{1}{4}[\parallel \overrightarrow{u} + \overrightarrow{v} \parallel^2 - \parallel \overrightarrow{u} - \overrightarrow{v} \parallel^2]$

Orthogonalité entre droites et plans

L'étude de l'orthogonalité et distances dans l'espace nous amène à examiner les relations entre droites et plans.

Orthogonalité de deux droites

• Deux droites sont orthogonales si et seulement si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux
• Deux droites sont à la fois orthogonales et sécantes si leurs vecteurs directeurs sont orthogonaux ET si elles sont coplanaires (elles ont un point commun)

Remarque importante: Pour démontrer que deux droites sont orthogonales avec le produit scalaire, il suffit de vérifier que le produit scalaire de leurs vecteurs directeurs est nul.

Orthogonalité d'une droite et d'un plan

• Une droite et un plan sont orthogonaux si le vecteur directeur de la droite est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires du plan
• Si une droite est orthogonale à un plan, alors ils sont forcément sécants (ils ont un point commun)

Vecteur normal à un plan

Définition: Le vecteur normal $\vec{n}$ à un plan P est le vecteur directeur de toutes les droites orthogonales à P.

Propriété: $\vec{n}$ est normal à P si $\vec{n}$ est orthogonal à deux vecteurs non colinéaires de P.

Projeté orthogonal

Définition: Le projeté orthogonal de M sur le plan P est le point H, intersection de P et de la droite perpendiculaire à P passant par M.

Pour vérifier que H est bien le projeté orthogonal de M, deux méthodes:

• Avec le vecteur normal $\vec{n}$: $\vec{MH}$ et $\vec{n}$ doivent être colinéaires
• Avec un segment du plan: vérifier que $\vec{BH}.\vec{MH} = 0$ (B étant un point du plan)

Plan médiateur

Définition: Le plan médiateur du segment [AB] est le plan passant par le milieu de [AB] et ayant pour vecteur normal $\vec{AB}$.

Astuce: Pour établir qu'un plan est médiateur d'un segment [AB], vérifiez que le vecteur normal au plan est colinéaire à $\vec{AB}$ et que le milieu du segment appartient au plan.

Représentation des objets géométriques

• Une droite peut être définie par 2 points ou par 1 point et 1 vecteur directeur
• Un plan peut être défini par 3 points, ou par 1 point et 2 vecteurs non colinéaires, ou par 1 point et 1 vecteur normal

Équations cartésiennes et projections orthogonales

Équation cartésienne d'un plan

L'équation cartésienne d'un plan P s'écrit sous la forme standard:

• P: ax + by + cz + d = 0

Où (a, b, c) sont les coordonnées du vecteur normal $\vec{n}$ au plan.

Pour déterminer d, on utilise un point A qui appartient au plan:

1. On remplace x, y, z par les coordonnées de A
2. On résout l'équation pour trouver d

Propriété importante: Des plans parallèles ont la même équation cartésienne à un coefficient d près. Ils ont donc le même vecteur normal.

Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal sur une droite

Pour trouver les coordonnées du projeté orthogonal H d'un point B sur une droite $d$, deux conditions sont nécessaires:

1. Condition d'orthogonalité: $\vec{BH}$ et $\vec{u}$ sont orthogonaux, donc $\vec{BH} \cdot \vec{u} = 0$ (où $\vec{u}$ est le vecteur directeur de la droite)
2. Condition d'appartenance: H appartient à $d$, donc ses coordonnées vérifient la représentation paramétrique de $d$

Méthode de résolution:

• On exprime les coordonnées de H en fonction du paramètre t
• On utilise la condition d'orthogonalité pour déterminer t
• On substitue cette valeur de t dans les équations paramétriques pour obtenir les coordonnées de H

Exemple pratique résolu

Pour une droite $d$ passant par A et de vecteur directeur $\vec{u}(6,-1,2)$, le projeté orthogonal H d'un point B$-1,8,2$ vérifie:

1. $\vec{BH} \cdot \vec{u} = 0$ donne $6(x_H+1)-(y_H-8)+2(z_H-2)=0$
2. H appartient à $d$ donc ses coordonnées vérifient les équations paramétriques de $d$

Après résolution du système, on trouve H(14,0,2).

Méthode clé: Pour résoudre les exercices d'orthogonalité dans l'espace, combinez toujours les conditions d'orthogonalité (produit scalaire nul) et d'appartenance (équations paramétriques ou cartésiennes).

Cette approche méthodique est applicable à de nombreux exercices corrigés de niveau Terminale sur l'orthogonalité et les distances dans l'espace.

Projections et intersections dans l'espace

Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal sur un plan

Pour trouver le projeté orthogonal H d'un point A sur un plan P, deux conditions sont nécessaires:

1. Colinéarité: $\vec{AH}$ et $\vec{m}$ sont colinéaires (où $\vec{m}$ est le vecteur normal au plan)

   • On pose $\vec{AH} = R\vec{m}$ avec R un réel à déterminer
   • Cela donne un système d'équations: $\begin{cases} x_H - x_A = Rm_x \\ y_H - y_A = Rm_y \\ z_H - z_A = Rm_z \end{cases}$

2. Appartenance au plan: H appartient à P, donc ses coordonnées vérifient l'équation cartésienne de P

Technique essentielle: Dans les exercices corrigés d'orthogonalité et distances dans l'espace, la recherche du projeté orthogonal est une application directe de la formule d'orthogonalité combinée à l'équation du plan.

Intersections de droites et de plans

Les positions relatives des droites et des plans peuvent être classées ainsi:

1. Droite sécante à un plan:

   • A n'appartient pas à P
   • $\vec{u}$ et $\vec{m}$ ne sont pas orthogonaux

2. Droite incluse dans un plan:

   • A appartient à P
   • $\vec{u}$ et $\vec{m}$ sont orthogonaux

3. Droite parallèle à un plan:

   • Condition: $\vec{u} \cdot \vec{m} = 0$ (vecteur directeur orthogonal au vecteur normal)

4. Droite perpendiculaire à un plan:

   • Condition: $\vec{m}$ et $\vec{u}$ sont colinéaires (vecteur directeur colinéaire au vecteur normal)

Relations entre droites et entre plans

• Droites perpendiculaires: $\vec{u} \cdot \vec{u'} = 0$ (produit scalaire des vecteurs directeurs nul)

• Droites parallèles: $\vec{u}$ et $\vec{u'}$ sont colinéaires

• Plans parallèles: $\vec{m}$ et $\vec{m'}$ sont colinéaires (vecteurs normaux colinéaires)

• Plans perpendiculaires: $\vec{m} \cdot \vec{m'} = 0$ (produit scalaire des vecteurs normaux nul)

• Plans sécants: $\vec{m}$ et $\vec{m'}$ non colinéaires (l'intersection est une droite)

Concept fondamental: Pour montrer qu'une droite est orthogonale à un plan, il suffit de prouver que son vecteur directeur est colinéaire au vecteur normal du plan. Cette relation d'orthogonalité d'une droite et d'un plan est au cœur de nombreux problèmes de géométrie dans l'espace en Terminale.

Ces méthodes permettent de résoudre efficacement les problèmes d'intersection, d'orthogonalité et de distances dans l'espace tridimensionnel, constituant une base solide pour les exercices de niveau Terminale.