PGCD, théorème de Bézout et théorème de Gauss — Cours et exercices pour Terminale

L'égalité de Bézout

Propriété fondamentale

Une équation $ax + by = k$ a des solutions entières uniquement si $k$ est un multiple du PGCD de $a$ et $b$.

• PGCD : le plus grand commun diviseur de deux nombres.
• Équation soluble : $15x + 9y = 3$ a des solutions car $PGCD(15, 9) = 3$ et $3$ divise $3$.
• Équation impossible : $12x + 18y = 15$ n'a aucune solution entière car $PGCD(12, 18) = 6$, et $6$ ne divise pas $15$.

💡 Astuce : Calcule toujours le PGCD des coefficients en premier pour vérifier si l'équation est soluble.

Le théorème de Bézout

Nombres premiers entre eux

Deux entiers $a$ et $b$ sont premiers entre eux si et seulement si leur PGCD est égal à $1$.

• Théorème de Bézout : il existe des entiers $u$ et $v$ tels que $au + bv = 1$.
• Conséquence : l'équation $ax + by = 1$ n'a des solutions entières que si $PGCD(a, b) = 1$.

Théorème de Gauss

• Énoncé : si $a$ divise le produit $bc$ et si $a$ et $b$ sont premiers entre eux, alors $a$ divise $c$.

💡 Piège : N'oublie pas de vérifier que $a$ et $b$ n'ont aucun diviseur commun avant d'appliquer Gauss.

Applications et résolution

Utiliser le théorème de Gauss

Le théorème de Gauss permet de résoudre des équations de type $ax + by = c$ à partir d'une solution particulière $(x_0; y_0)$.

• Étape 1 : injecter la solution pour obtenir $a(x_0 - x) = b(y - y_0)$.
• Étape 2 : appliquer Gauss pour exprimer les solutions sous forme de système avec un paramètre entier $k$.

Exemple : Pour $4x - 3y = 5$ avec la solution $(2; 1)$ :

• $4(2 - x) = 3(1 - y)$
• Comme $PGCD(4, 3) = 1$, alors $4$ divise $1 - y$, donc $y = 1 + 4k$ et $x = 2 + 3k$ (avec $k \in \mathbb{Z}$).

💡 Astuce : Remplace toujours $x$ et $y$ par tes formules finales dans l'équation de départ pour vérifier tes calculs.

Le PGCD

Définition et généralisation

Le PGCD est le plus grand entier qui divise simultanément deux nombres.

• Exemple : le $PGCD(20, 30) = 10$, car leurs diviseurs communs sont $1, 2, 5$ et $10$.
• Extension : cette notion s'applique aux entiers relatifs, aux polynômes et aux anneaux commutatifs.

💡 Astuce : Deux nombres consécutifs comme $n$ et $n+1$ ont toujours un PGCD égal à $1$.