Propriétés du Trinôme et Factorisation
Les propriétés du trinôme du second degré sont cruciales pour comprendre son comportement et sa résolution. Le signe du coefficient a détermine l'orientation de la parabole, tandis que le discriminant Δ influence la factorisation du polynôme.
Exemple: Si a > 0, la parabole est orientée vers le haut. Si a < 0, elle est orientée vers le bas.
La factorisation du trinôme dépend de la valeur du discriminant :
- Si Δ < 0, le trinôme n'est pas factorisable dans ℝ
- Si Δ = 0, f(x) = a(x - α)²
- Si Δ > 0, f(x) peut être exprimé sous forme factorisée
Highlight: La forme factorisée d'un polynôme de degré 2 est particulièrement utile pour déterminer ses racines et son signe.
Le signe du trinôme varie en fonction de ses racines et du signe de a. Cette analyse est souvent représentée dans un tableau de signe du second degré.
Vocabulaire: La forme canonique d'un polynôme du second degré est f(x) = a(x-α)² + β, où (α,β) sont les coordonnées du sommet de la parabole.
Enfin, les relations entre les racines d'un trinôme sont importantes :
Formule: Pour un trinôme ax²+bx+c avec des racines x₁ et x₂ :
- Somme des racines : x₁ + x₂ = -b/a
- Produit des racines : x₁ × x₂ = c/a
Ces propriétés sont essentielles pour résoudre des exercices corrigés sur les polynômes du second degré et pour comprendre en profondeur le comportement de ces fonctions mathématiques.
