Les polynômes du second degré constituent un élément fondamental des mathématiques en classe de première.
Un polynôme du second degré se présente sous la forme f(x) = ax² + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels et a ≠ 0. La représentation graphique d'une telle fonction est une parabole. La forme canonique permet de déterminer facilement les caractéristiques essentielles de la fonction, notamment son sommet et son axe de symétrie. Pour passer de la forme développée à la forme canonique, il faut compléter le carré parfait.
Les équations du second degré sont étroitement liées aux polynômes. Pour les résoudre, on utilise le discriminant Δ = b² - 4ac qui permet de déterminer le nombre et la nature des solutions. Si Δ > 0, l'équation admet deux solutions réelles distinctes. Si Δ = 0, elle admet une unique solution réelle double. Si Δ < 0, elle n'admet aucune solution réelle. La formule pour trouver les solutions est x = (-b ± √Δ) / (2a). L'étude du signe d'un polynôme du second degré est également cruciale pour résoudre des inéquations. Le tableau de signes se construit en étudiant les variations de la fonction et en déterminant les racines du polynôme.
La maîtrise des fonctions polynômes du second degré nécessite une bonne compréhension des propriétés géométriques de la parabole. Le coefficient a détermine le sens de variation (parabole orientée vers le haut si a > 0, vers le bas si a < 0), tandis que les coefficients b et c influencent respectivement la position du sommet et l'ordonnée à l'origine. Les exercices corrigés permettent de s'entraîner à manipuler ces concepts, que ce soit pour déterminer les coefficients à partir d'un graphique, étudier les variations ou résoudre des problèmes concrets modélisés par des fonctions du second degré.
