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Maths
4 oct. 2025
2 719
8 pages
Les polynômes du second degré constituent un élément fondamental des mathématiques en classe de première.
Un polynôme du... Affiche plus
Les polynômes du second degré constituent un élément fondamental des mathématiques. Pour bien comprendre leur fonctionnement, commençons par les concepts essentiels.
Définition Une fonction polynôme du second degré est une fonction f définie sur ℝ qui s'écrit sous la forme f = ax² + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels et a ≠ 0.
La variation d'une fonction polynôme est caractérisée par sa croissance et sa décroissance. Une fonction est croissante sur un intervalle I si pour tout couple (a,b) d'éléments de I tels que a ≤ b, on a f(a) ≤ f(b). Elle est décroissante si f(a) ≥ f(b).
Exemple La fonction carré f = x² est un cas particulier de polynôme second degré où a=1, b=0 et c=0. Elle est décroissante sur ]-∞;0] et croissante sur [0;+∞[.
Les extremums d'une fonction polynôme sont essentiels pour comprendre son comportement. Un maximum est atteint en un point x₀ si pour tout x, f(x) ≤ f(x₀). Un minimum est atteint si f(x) ≥ f(x₀).
La forme canonique d'un polynôme du second degré est une écriture particulièrement utile pour l'étude des variations.
Formule Tout polynôme f = ax² + bx + c peut s'écrire sous la forme f = a² + β, où α et β sont des constantes réelles.
Cette transformation utilise les identités remarquables
Highlight La forme canonique permet de déterminer immédiatement le sommet de la parabole, qui se trouve au point de coordonnées (α;β).
Les variations d'une fonction polynôme du second degré dépendent du signe de a
L'étude d'une fonction polynôme du second degré nécessite une analyse méthodique de plusieurs aspects.
Vocabulaire La courbe représentative d'une fonction polynôme du second degré est une parabole. Le point (α;β) est appelé sommet de la parabole.
Les variations dépendent du coefficient a
Exemple Pour f = -3² - 4, on a a=-3, α=2 et β=-4. La fonction est donc croissante sur ]-∞;2] et décroissante sur [2;+∞[.
La symétrie est une propriété fondamentale des polynômes du second degré.
Définition La parabole associée à une fonction polynôme du second degré admet toujours un axe de symétrie d'équation x = α.
Cette propriété se démontre en vérifiant que pour tout h réel f = f = ah² + β
Application Cette symétrie est particulièrement utile pour tracer la courbe et résoudre des problèmes d'optimisation.
Les applications pratiques des polynômes du second degré sont nombreuses
Cette section détaille le sens de variation des polynômes du second degré.
Propriété
- Si a < 0, f est croissante sur ]-∞; α] et décroissante sur [α; +∞[
- Si a > 0, f est décroissante sur ]-∞; α] et croissante sur [α; +∞[
Le chapitre présente également les tableaux de variation pour chaque cas.
Highlight La maîtrise du sens de variation est essentielle pour résoudre les exercices corrigés sur les polynômes du second degré.
Une démonstration rigoureuse de ces propriétés est fournie, renforçant la compréhension des étudiants.
Bien que non explicitement présente dans le texte, cette section pourrait conclure le chapitre en soulignant l'importance des polynômes du second degré dans divers domaines des mathématiques et de la physique.
Highlight Les concepts étudiés dans ce chapitre sont fondamentaux pour résoudre des équations du second degré et analyser des fonctions polynômes.
La maîtrise de ces notions est essentielle pour progresser dans l'étude des mathématiques avancées et pour réussir les examens de niveau secondaire et supérieur.
Example Les polynômes du second degré sont utilisés pour modéliser des trajectoires de projectiles, des courbes de demande en économie, et bien d'autres phénomènes du monde réel.
Ce chapitre commence par un rappel des concepts fondamentaux des fonctions, essentiels pour comprendre les polynômes du second degré.
Définition Une fonction f est croissante sur un intervalle I si pour tout couple (a;b) d'éléments de I tels que a ≤ b, on a f(a) ≤ f(b).
Exemple La fonction carrée f = x² est croissante sur -∞;0].
Le chapitre aborde également les notions d'extremum, de parité et de symétrie des fonctions. Ces concepts sont cruciaux pour l'analyse des polynômes du second degré.
Highlight La compréhension de ces concepts de base est essentielle pour maîtriser les exercices corrigés sur les polynômes du second degré.
Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.
Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.
Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!
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Google Play
L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
utilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
utilisatrice iOS
Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣
Thomas R
utilisateur d' Android
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Esteban M
utilisateur d'Android
Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
utilisateur d'Android
L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
utilisateur Android
Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
utilisatrice iOS
C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩
Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
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Définition Une fonction polynôme du second degré est une fonction f définie sur ℝ qui s'écrit sous la forme f = ax² + bx + c, où a, b et c sont des nombres réels et a ≠ 0.
La variation d'une fonction polynôme est caractérisée par sa croissance et sa décroissance. Une fonction est croissante sur un intervalle I si pour tout couple (a,b) d'éléments de I tels que a ≤ b, on a f(a) ≤ f(b). Elle est décroissante si f(a) ≥ f(b).
Exemple La fonction carré f = x² est un cas particulier de polynôme second degré où a=1, b=0 et c=0. Elle est décroissante sur ]-∞;0] et croissante sur [0;+∞[.
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Exemple La fonction carrée f = x² est croissante sur -∞;0].
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