Analyse du Signe et Factorisation des Polynômes du Second Degré

Cette section approfondit l'étude des polynômes du second degré en se concentrant sur l'analyse de leur signe et les possibilités de factorisation. Ces aspects sont cruciaux pour résoudre des exercices corrigés plus avancés et comprendre le comportement global de ces fonctions.

L'analyse du signe d'un trinôme du second degré dépend directement de la valeur du discriminant Δ et du signe du coefficient a :

• Pour Δ < 0, le polynôme garde le signe de a sur tout ℝ et ne s'annule jamais. • Lorsque Δ = 0, le polynôme conserve le signe de a, s'annulant uniquement en sa racine double. • Si Δ > 0, le signe du polynôme alterne : il est du signe de a à l'extérieur de ses racines et de signe opposé entre elles.

Exemple: Pour un polynôme P(x) = x² - 4x + 3 avec Δ > 0 et a > 0, P(x) est positif pour x < 1 et x > 3, et négatif pour 1 < x < 3.

La factorisation du polynôme dépend également de la nature de son discriminant :

• Un discriminant négatif empêche toute factorisation réelle. • Avec Δ = 0, le polynôme se factorise sous la forme P(x) = a(x + b/2a)². • Pour Δ > 0, on obtient P(x) = a(x - x₁)(x - x₂), où x₁ et x₂ sont les racines du polynôme.

Highlight: La factorisation est un outil puissant pour l'étude du signe et des zéros d'un polynôme du second degré.

Ces concepts sont essentiels pour construire un tableau de signe second degré précis, permettant une visualisation claire du comportement de la fonction sur l'ensemble de son domaine de définition.

Vocabulary: Le trinôme du second degré est une autre appellation pour le polynôme du second degré, mettant l'accent sur ses trois termes.

L'étude approfondie de ces propriétés permet de maîtriser la résolution d'équations et d'inéquations du second degré, compétences fondamentales en mathématiques avancées.