Les polynômes du second degré et leurs racines
Un polynôme du second degré s'écrit sous la forme ax² + bx + c où a est non nul. Pour résoudre une équation du type ax² + bx + c = 0, on calcule d'abord le discriminant Δ = b² - 4ac.
Selon la valeur de Δ, trois cas se présentent :
- Si Δ > 0 : l'équation admet deux solutions x₁ = (-b - √Δ)/2a et x₂ = (-b + √Δ)/2a
- Si Δ = 0 : l'équation admet une racine double x₀ = -b/2a
- Si Δ < 0 : l'équation n'admet pas de solution dans ℝ
💡 Astuce de mémorisation : Pour vous souvenir facilement des formules des racines, pensez que le numérateur contient toujours -b, puis soit -√Δ, soit +√Δ, le tout divisé par 2a.
Les racines d'un polynôme du second degré vérifient des relations importantes. Leur somme vaut -b/a et leur produit vaut c/a. Ces formules sont très utiles pour vérifier vos calculs ou pour résoudre certains problèmes sans calculer explicitement les racines.
Le polynôme du second degré peut s'écrire sous différentes formes :
- Forme développée : ax² + bx + c
- Forme canonique : a(x - α)² + β où α = -b/2a et β = f(α)
- Forme factorisée : a(x - x₁)(x - x₂) lorsque Δ > 0
La forme canonique est particulièrement intéressante car le point (α,β) correspond au sommet de la parabole représentant la fonction f(x) = ax² + bx + c.