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Relations entre Probabilités d'Événements

événements indépendants

Maths86 vues·Mis à jour 28 juin 2026·4 pages

Guide simple des probabilités : conditionnelles, totales, incompatibles, indépendantes

luc mat@lucmat_rtky

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$# Probabilités: - Definition: Experience aléatoire ayant plusieurs issues * Ensemble des issues est univers. $\Omega$ exemple:$

Vocabulaire et formules de base

Univers et événements

Univers ( $\Omega$ ) : l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire.
Intersection ( $A \cap B$ ) : les événements $A$ et $B$ se réalisent en même temps.
Union ( $A \cup B$ ) : au moins l'un des deux événements, $A$ ou $B$ , se réalise.

Calculer une probabilité

Équiprobabilité : $P(A) = \frac{\text{issues favorables}}{\text{total d'issues}}$ .
Événement contraire : la probabilité de $\overline{A}$ vaut $P(\overline{A}) = 1 - P(A)$ .
Formule clé : $P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B)$ .

💡 Astuce : Deux événements sont incompatibles si leur intersection est vide, soit $P(A \cap B) = 0$ .

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Arbres et tableaux croisés

Outils de représentation

Arbre pondéré : schéma qui montre les chemins possibles avec leurs probabilités associées.
Tableau croisé : tableau à double entrée pour croiser des effectifs et calculer des fréquences.

Exemples de lecture

Calcul d'intersection : dans un tableau, on croise directement une ligne et une colonne.
Exemple : dans le tableau, pour trouver $P(C_2 \cap \overline{B})$ , on lit l'intersection : $\frac{6}{21}$ .

💡 Astuce : Sur un arbre pondéré, la somme des branches partant d'un même nœud est toujours égale à $1$ .

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Probabilités conditionnelles

Conditionnement et formules

Probabilité conditionnelle : probabilité de $B$ sachant $A$ , notée $P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}$ .
Intersection : se calcule avec la formule $P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B)$ .

Probabilités totales

Partition : $A$ et $\overline{A}$ séparent l'univers $\Omega$ en deux blocs sans intersection.
Formule des probabilités totales : $P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B)$ .

💡 Astuce : Ne confonds pas $P_A(B)$ (sachant $A$ ) et $P(A \cap B)$ ( $A$ et $B$ en même temps).

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Indépendance

Événements indépendants

Définition : la réalisation de l'un n'influence pas l'autre, soit $P_A(B) = P(B)$ .
Calcul : $A$ et $B$ sont indépendants si et seulement si $P(A \cap B) = P(A) \times P(B)$ .

Succession d'épreuves

Avec remise : garantit que les épreuves successives restent strictement indépendantes.
Propriété : si $A$ et $B$ sont indépendants, alors $\overline{A}$ et $\overline{B}$ le sont aussi.

💡 Astuce : Pour prouver l'indépendance, vérifie toujours si $P(A \cap B)$ est égal à $P(A) \times P(B)$ .

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