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Mathématiques

Relations entre Probabilités d'Événements

événements indépendants

Maths86Mis à jour 14 sept. 20264 pages

Guide simple des probabilités : conditionnelles, totales, incompatibles, indépendantes

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luc mat@lucmat_rtky
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Lancer un dé ou tirer une carte pile ou face cache des règles mathématiques bien précises pour prédire le hasard. Ce guide décrypte les probabilités, des calculs de base aux événements indépendants, en passant par les arbres pondérés et les probabilités conditionnelles. Tu y trouveras toutes les formules indispensables et des exemples concrets pour réussir tes prochains contrôles.
Probabilités – page 1

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Vocabulaire et formules de base

Univers et événements

  • Univers (Ω\Omega) : l'ensemble de toutes les issues possibles d'une expérience aléatoire.
  • Intersection (A∩BA \cap B) : les événements AA et BB se réalisent en même temps.
  • Union (A∪BA \cup B) : au moins l'un des deux événements, AA ou BB, se réalise.

Calculer une probabilité

  • Équiprobabilité : P(A)=issues favorablestotal d’issuesP(A) = \frac{\text{issues favorables}}{\text{total d'issues}}.
  • Événement contraire : la probabilité de A‾\overline{A} vaut P(A‾)=1−P(A)P(\overline{A}) = 1 - P(A).
  • Formule clé : P(A∪B)=P(A)+P(B)−P(A∩B)P(A \cup B) = P(A) + P(B) - P(A \cap B).

💡 Astuce : Deux événements sont incompatibles si leur intersection est vide, soit P(A∩B)=0P(A \cap B) = 0.

Probabilités – page 2

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Arbres et tableaux croisés

Outils de représentation

  • Arbre pondéré : schéma qui montre les chemins possibles avec leurs probabilités associées.
  • Tableau croisé : tableau à double entrée pour croiser des effectifs et calculer des fréquences.

Exemples de lecture

  • Calcul d'intersection : dans un tableau, on croise directement une ligne et une colonne.
  • Exemple : dans le tableau, pour trouver P(C2∩B‾)P(C_2 \cap \overline{B}), on lit l'intersection : 621\frac{6}{21}.

💡 Astuce : Sur un arbre pondéré, la somme des branches partant d'un même nœud est toujours égale à 11.

Probabilités – page 3

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Probabilités conditionnelles

Conditionnement et formules

  • Probabilité conditionnelle : probabilité de BB sachant AA, notée PA(B)=P(A∩B)P(A)P_A(B) = \frac{P(A \cap B)}{P(A)}.
  • Intersection : se calcule avec la formule P(A∩B)=P(A)×PA(B)P(A \cap B) = P(A) \times P_A(B).

Probabilités totales

  • Partition : AA et A‾\overline{A} séparent l'univers Ω\Omega en deux blocs sans intersection.
  • Formule des probabilités totales : P(B)=P(A∩B)+P(A‾∩B)P(B) = P(A \cap B) + P(\overline{A} \cap B).

💡 Astuce : Ne confonds pas PA(B)P_A(B) (sachant AA) et P(A∩B)P(A \cap B) (AA et BB en même temps).

Probabilités – page 4

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Indépendance

Événements indépendants

  • Définition : la réalisation de l'un n'influence pas l'autre, soit PA(B)=P(B)P_A(B) = P(B).
  • Calcul : AA et BB sont indépendants si et seulement si P(A∩B)=P(A)×P(B)P(A \cap B) = P(A) \times P(B).

Succession d'épreuves

  • Avec remise : garantit que les épreuves successives restent strictement indépendantes.
  • Propriété : si AA et BB sont indépendants, alors A‾\overline{A} et B‾\overline{B} le sont aussi.

💡 Astuce : Pour prouver l'indépendance, vérifie toujours si P(A∩B)P(A \cap B) est égal à P(A)×P(B)P(A) \times P(B).

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