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Anaïs LE PAPE
23/07/2025
Maths
Produit scalaire
729
•
23 juil. 2025
•
Anaïs LE PAPE
@anaslepape_funs
Le produit scalaireest un concept fondamental en mathématiques, particulièrement... Affiche plus
Cette page approfondit les applications du produit scalaire, notamment en relation avec la projection orthogonale et l'orthogonalité des vecteurs.
Le concept de projection orthogonale est lié au produit scalaire. Pour trois points A, B, C, avec H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), on a la relation : AB · AC = AB · AH.
Définition: Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si leurs directions sont perpendiculaires. Le vecteur nul est considéré orthogonal à tout vecteur.
Une propriété fondamentale est présentée : deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul (u.v = 0).
Highlight: L'orthogonalité des vecteurs est directement liée à un produit scalaire nul, ce qui est une propriété clé en géométrie vectorielle.
Le document présente ensuite des règles de calcul pour le produit scalaire, impliquant des opérations sur les vecteurs et les scalaires.
Le carré scalaire d'un vecteur est introduit comme le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même, ce qui est lié à la norme du vecteur : ||u||² = u.u.
Enfin, le produit scalaire est exprimé en termes de coordonnées dans une base orthonormée, ce qui permet de calculer facilement le produit scalaire et la norme des vecteurs à partir de leurs composantes.
Exemple: Dans une base orthonormée, si u(x,y) et v(x',y'), alors u.v = xx' + yy' et ||u|| = √(x² + y²).
Le document se termine par une formule reliant le produit scalaire et les normes de vecteurs, soulignant l'importance de ces concepts dans la géométrie vectorielle.
Le théorème d'al-kashi est présenté comme un outil fondamental pour calculer des longueurs et des angles dans un triangle. La formule générale est donnée pour tout triangle OAB : AB² = OA² + OB² - 2 x OA x OB x cos(θ).
Le produit scalaire est ensuite introduit comme une opération entre deux vecteurs. Pour deux vecteurs u et v non nuls, représentés par les points A, B et C, le produit scalaire est défini par : u.v = AB · AC = AB x AC x cos(BAC). Dans le cas où l'un des vecteurs est nul, le produit scalaire est égal à zéro.
Définition: Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est un nombre réel noté u.v, défini par une formule impliquant les longueurs des vecteurs et l'angle entre eux.
Des cas particuliers sont présentés pour des vecteurs colinéaires :
Exemple: Si AB et AC sont colinéaires et de même sens, alors AB·AC = AB x AC. Si ils sont de sens contraires, AB·AC = -AB x AC.
Le document présente également des identités remarquables pour le produit scalaire, qui sont utiles pour simplifier certains calculs vectoriels.
Highlight: Les identités remarquables du produit scalaire sont des formules clés pour manipuler les expressions vectorielles complexes.
Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.
Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.
Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!
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Google Play
L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
utilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
utilisatrice iOS
Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣
Thomas R
utilisateur d' Android
super application pour réviser je révise tout les soirs
Esteban M
utilisateur d'Android
Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
utilisateur d'Android
L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
utilisateur Android
Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
utilisatrice iOS
C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩
Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
utilisatrice iOS
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Stefan S
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Samantha Klich
utilisatrice Android
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Anna
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Thomas R
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Esteban M
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Leny
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Sudenaz Ocak
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Greenlight Bonnie
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Claire
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Anaïs LE PAPE
@anaslepape_funs
Le produit scalaire est un concept fondamental en mathématiques, particulièrement utile dans la géométrie vectorielle. Il permet de calculer des longueurs et des angles dans un triangle, et est étroitement lié à l'orthogonalité et la colinéarité des vecteurs. Le théorème... Affiche plus
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Le concept de projection orthogonale est lié au produit scalaire. Pour trois points A, B, C, avec H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), on a la relation : AB · AC = AB · AH.
Définition: Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si leurs directions sont perpendiculaires. Le vecteur nul est considéré orthogonal à tout vecteur.
Une propriété fondamentale est présentée : deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul (u.v = 0).
Highlight: L'orthogonalité des vecteurs est directement liée à un produit scalaire nul, ce qui est une propriété clé en géométrie vectorielle.
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Le carré scalaire d'un vecteur est introduit comme le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même, ce qui est lié à la norme du vecteur : ||u||² = u.u.
Enfin, le produit scalaire est exprimé en termes de coordonnées dans une base orthonormée, ce qui permet de calculer facilement le produit scalaire et la norme des vecteurs à partir de leurs composantes.
Exemple: Dans une base orthonormée, si u(x,y) et v(x',y'), alors u.v = xx' + yy' et ||u|| = √(x² + y²).
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Le théorème d'al-kashi est présenté comme un outil fondamental pour calculer des longueurs et des angles dans un triangle. La formule générale est donnée pour tout triangle OAB : AB² = OA² + OB² - 2 x OA x OB x cos(θ).
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Définition: Le produit scalaire de deux vecteurs u et v est un nombre réel noté u.v, défini par une formule impliquant les longueurs des vecteurs et l'angle entre eux.
Des cas particuliers sont présentés pour des vecteurs colinéaires :
Exemple: Si AB et AC sont colinéaires et de même sens, alors AB·AC = AB x AC. Si ils sont de sens contraires, AB·AC = -AB x AC.
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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
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Ella
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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
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Thomas R
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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
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Khady
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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
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