Propriétés et Applications du Produit Scalaire

Cette page approfondit les applications du produit scalaire, notamment en relation avec la projection orthogonale et l'orthogonalité des vecteurs.

Le concept de projection orthogonale est lié au produit scalaire. Pour trois points A, B, C, avec H le projeté orthogonal de C sur la droite (AB), on a la relation : AB · AC = AB · AH.

Définition: Deux vecteurs non nuls sont orthogonaux si leurs directions sont perpendiculaires. Le vecteur nul est considéré orthogonal à tout vecteur.

Une propriété fondamentale est présentée : deux vecteurs u et v sont orthogonaux si et seulement si leur produit scalaire est nul (u.v = 0).

Highlight: L'orthogonalité des vecteurs est directement liée à un produit scalaire nul, ce qui est une propriété clé en géométrie vectorielle.

Le document présente ensuite des règles de calcul pour le produit scalaire, impliquant des opérations sur les vecteurs et les scalaires.

Le carré scalaire d'un vecteur est introduit comme le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même, ce qui est lié à la norme du vecteur : ||u||² = u.u.

Enfin, le produit scalaire est exprimé en termes de coordonnées dans une base orthonormée, ce qui permet de calculer facilement le produit scalaire et la norme des vecteurs à partir de leurs composantes.

Exemple: Dans une base orthonormée, si u(x,y) et v(x',y'), alors u.v = xx' + yy' et ||u|| = √(x² + y²).

Le document se termine par une formule reliant le produit scalaire et les normes de vecteurs, soulignant l'importance de ces concepts dans la géométrie vectorielle.