Repères orthonormés et produit scalaire dans l'espace
Cette section introduit les concepts fondamentaux du produit scalaire dans l'espace et des repères orthonormés. Elle établit les bases nécessaires pour comprendre les calculs vectoriels tridimensionnels.
Définition: Un repère (o; i; j; k) est orthonormé si les vecteurs i, j et k sont deux à deux orthogonaux et de même norme.
Dans un repère orthonormé, la norme d'un vecteur u(x, y, z) est donnée par la formule ||u|| = √(x² + y² + z²). Cette formule est essentielle pour de nombreux calculs en géométrie spatiale.
Le produit scalaire dans l'espace est défini de manière similaire au produit scalaire dans le plan, mais avec une dimension supplémentaire. Pour deux vecteurs u = AB et v = AC dans l'espace :
Formule: u • v = AB × AC × cos(BAC)
Cette définition permet de calculer le produit scalaire même lorsque les vecteurs ne sont pas coplanaires, en les projetant sur un plan commun.
Highlight: Le produit scalaire peut s'exprimer de plusieurs façons, chacune étant utile dans différents contextes :
- u • v = ½(||u||² + ||v||² - ||u - v||²)
- u • v = AB × AH, où H est le projeté orthogonal de C sur (AB)
- Dans un repère orthonormé : u • v = xx' + yy' + zz'
Ces expressions du produit scalaire dans l'espace sont fondamentales pour résoudre des exercices corrigés de produit scalaire dans l'espace.
Example: Pour calculer le produit scalaire de u(1, 2, 3) et v(4, 5, 6) dans un repère orthonormé :
u • v = 1×4 + 2×5 + 3×6 = 4 + 10 + 18 = 32
