Formules et Propriétés du Produit Scalaire

Cette page présente les formules essentielles et les propriétés du produit scalaire, un concept fondamental en mathématiques et en physique. Le produit scalaire est un outil puissant pour analyser les relations entre les vecteurs et les angles dans l'espace.

Definition: Le produit scalaire de deux vecteurs AB et AC est défini par la formule : AB • AC = AB x AC x cos(BAC)

Cette formule est la base de nombreuses applications en géométrie et en physique.

Highlight: Une propriété importante du produit scalaire est que le produit scalaire d'un vecteur avec lui-même est égal au carré de sa norme : AB² = AB • AB

Cette propriété est souvent utilisée pour calculer la longueur d'un vecteur.

Example: Si u • v = 0, alors soit u = 0, soit v = 0, soit les vecteurs u et v sont perpendiculaires.

Cette propriété est particulièrement utile pour vérifier l'orthogonalité de deux vecteurs.

La page présente également d'autres formules importantes :

1. 2AB • CD = AB x CD
2. AB • AC = AB • AM, où H est le projeté orthogonal
3. u • v = x₁x₂ + y₁y₂, pour les vecteurs u(x₁, y₁) et v(x₂, y₂)
4. |u • v|² ≤ |u|² |v|², une inégalité fondamentale

Vocabulary: Le théorème d'Al-Kashi, également connu sous le nom de loi des cosinus, est présenté : a² = b² + c² - 2bc cos(A)

Ce théorème est une généralisation du théorème de Pythagore pour les triangles non rectangles.

Enfin, la page mentionne une propriété géométrique intéressante :

Highlight: L'ensemble des points M tels que MA • MB = 0 forme le cercle de diamètre [AB]

Cette propriété est souvent utilisée dans les problèmes de géométrie analytique.