Exercice corrigé : démonstration par récurrence d'une suite
Pour notre exemple de suite un, commençons par l'initialisation. On vérifie P0 : u0=2 (donné) et 3−20=3−1=2. Donc P0 est vraie.
Passons à l'hérédité. On suppose que Pn est vraie pour un certain n, c'est-à-dire que un=3−2n (notre hypothèse de récurrence). Maintenant, calculons un+1 :
un+1=2un−3
=2×(3−2n)−3 (d'après HR)
=6−2×2n−3
=6−2n+1−3
=3−2n+1
Nous venons de prouver que un+1=3−2n+1, donc Pn+1 est vraie. La propriété est vraie au rang initial et héréditaire, donc elle est vraie pour tout n∈N.
🔑 Dans la rédaction d'une démonstration par récurrence, sois méthodique : commence par définir clairement la propriété Pn, puis traite l'initialisation et l'hérédité comme deux paragraphes distincts.
Cette méthode peut s'appliquer à de nombreux types de problèmes : formules de sommes, propriétés des suites, inégalités et bien d'autres exercices mathématiques.