Chapitre 1 : Raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence est une méthode de démonstration mathématique permettant de prouver qu'une infinité de propositions dépendantes d'un entier naturel n sont vraies. Cette technique est fondamentale en mathématiques et s'applique à de nombreux domaines.

Définition: Le raisonnement par récurrence se compose de deux étapes principales : l'initialisation et l'hérédité.

L'initialisation consiste à vérifier que la propriété est vraie pour un rang initial n₀. L'hérédité, quant à elle, démontre que si la propriété est vraie pour un entier n quelconque, elle l'est également pour n+1.

Highlight: L'hypothèse de récurrence (HR) est un élément clé de la démonstration. Elle suppose que la proposition P est vraie pour un certain rang n.

Exemple: Pour illustrer cette méthode, on présente un exercice de démonstration par récurrence sur une suite définie par u₁ = 2 et u(n+1) = 2u(n) - 3 pour tout n ∈ ℕ.

La démonstration vise à prouver que u(n) = 3 - 2ⁿ pour tout n ∈ ℕ. Cette démonstration par récurrence : exercice corrigé montre l'application pratique de la méthode.