Principe du raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence te permet de démontrer qu'une proposition $P_n$ est vraie pour une infinité de valeurs, sans avoir à vérifier chaque cas individuellement. C'est comme grimper un escalier infini en vérifiant seulement deux choses !

La méthode se décompose en deux étapes essentielles. D'abord, l'initialisation : on vérifie que la propriété est vraie pour le premier rang $n_0$. Ensuite, l'hérédité : on prouve que si la propriété est vraie pour un entier $n$ quelconque (c'est l'hypothèse de récurrence), alors elle est également vraie pour $n+1$.

Ces deux étapes suffisent à prouver que la propriété est vraie pour tous les entiers à partir de $n_0$. C'est comme si tu montrais que tu peux monter sur la première marche, puis que si tu es sur une marche, tu peux toujours atteindre la suivante.

💡 Astuce : Lorsque tu rédiges l'étape d'hérédité, commence toujours par indiquer clairement ton hypothèse de récurrence (HR) avant de démontrer la propriété au rang suivant.

Exemple de démonstration par récurrence

Prenons un exemple concret de démonstration par récurrence avec une suite définie par $u_0=2$ et $u_{n+1}=2u_n-3$ pour tout $n \in \mathbb{N}$. Nous voulons prouver que $u_n=3-2^n$ pour tout entier naturel.

Pour l'initialisation, vérifions que la formule est vraie pour $n=0$ : $u_0=2$ (d'après la définition) et $3-2^0=3-1=2$. La formule est donc vérifiée pour le rang initial.

Passons maintenant à l'hérédité. Supposons que la propriété $u_n=3-2^n$ soit vraie pour un certain $n$ (c'est notre hypothèse de récurrence). Calculons $u_{n+1}$ en utilisant la relation de récurrence : $u_{n+1}=2u_n-3=2(3-2^n)-3=6-2×2^n-3=6-2^{n+1}-3=3-2^{n+1}$.

La propriété est donc vraie au rang $n+1$ quand elle est vraie au rang $n$. Comme l'initialisation et l'hérédité sont prouvées, le raisonnement par récurrence nous permet de conclure que la formule $u_n=3-2^n$ est vraie pour tout $n \in \mathbb{N}$.

💡 Conseil pratique : Dans les exercices de suites, le raisonnement par récurrence est souvent la clé pour démontrer des formules explicites à partir d'une définition par récurrence.