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Maîtriser le Raisonnement par Récurrence : Cours et Exemples Détaillés

55

0

L

Lilou Urdiales

30/10/2025

Maths

Raisonnement par récurrence

Mathématiques

Méthodes de Démonstration Mathématique

Étape d'induction

1 319

•

30 oct. 2025

•

2 pages

Maîtriser le Raisonnement par Récurrence : Cours et Exemples Détaillés

L

Lilou Urdiales

@lil.udls

Le raisonnement par récurrenceest une méthode mathématique puissante pour... Affiche plus

# Chap.n°1: Raisonnement par récurrence Une démonstration par récurrence consiste à démontrer qu'une infinité de propositions dépendantes d

Principe du raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence te permet de démontrer qu'une proposition PnP_n est vraie pour une infinité de valeurs, sans avoir à vérifier chaque cas individuellement. C'est comme grimper un escalier infini en vérifiant seulement deux choses !

La méthode se décompose en deux étapes essentielles. D'abord, l'initialisation : on vérifie que la propriété est vraie pour le premier rang n0n_0. Ensuite, l'hérédité : on prouve que si la propriété est vraie pour un entier nn quelconque (c'est l'hypothèse de récurrence), alors elle est également vraie pour n+1n+1.

Ces deux étapes suffisent à prouver que la propriété est vraie pour tous les entiers à partir de n0n_0. C'est comme si tu montrais que tu peux monter sur la première marche, puis que si tu es sur une marche, tu peux toujours atteindre la suivante.

💡 Astuce : Lorsque tu rédiges l'étape d'hérédité, commence toujours par indiquer clairement ton hypothèse de récurrence (HR) avant de démontrer la propriété au rang suivant.

# Chap.n°1: Raisonnement par récurrence Une démonstration par récurrence consiste à démontrer qu'une infinité de propositions dépendantes d

Exemple de démonstration par récurrence

Prenons un exemple concret de démonstration par récurrence avec une suite définie par u0=2u_0=2 et un+1=2un−3u_{n+1}=2u_n-3 pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}. Nous voulons prouver que un=3−2nu_n=3-2^n pour tout entier naturel.

Pour l'initialisation, vérifions que la formule est vraie pour n=0n=0 : u0=2u_0=2 (d'après la définition) et 3−20=3−1=23-2^0=3-1=2. La formule est donc vérifiée pour le rang initial.

Passons maintenant à l'hérédité. Supposons que la propriété un=3−2nu_n=3-2^n soit vraie pour un certain nn (c'est notre hypothèse de récurrence). Calculons un+1u_{n+1} en utilisant la relation de récurrence : un+1=2un−3=2(3−2n)−3=6−2×2n−3=6−2n+1−3=3−2n+1u_{n+1}=2u_n-3=2(3-2^n)-3=6-2×2^n-3=6-2^{n+1}-3=3-2^{n+1}.

La propriété est donc vraie au rang n+1n+1 quand elle est vraie au rang nn. Comme l'initialisation et l'hérédité sont prouvées, le raisonnement par récurrence nous permet de conclure que la formule un=3−2nu_n=3-2^n est vraie pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.

💡 Conseil pratique : Dans les exercices de suites, le raisonnement par récurrence est souvent la clé pour démontrer des formules explicites à partir d'une définition par récurrence.



Si on te demande...

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Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

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4.9/5

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4.8/5

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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Mathématiques

Méthodes de Démonstration Mathématique

Étape d'induction

 

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•

1 319

•

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•

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Maîtriser le Raisonnement par Récurrence : Cours et Exemples Détaillés

L

Lilou Urdiales

@lil.udls

Le raisonnement par récurrenceest une méthode mathématique puissante pour démontrer qu'une propriété est vraie pour tous les entiers naturels à partir d'un certain rang. Cette technique, indispensable en terminale, permet de prouver des formules générales en deux étapes simples... Affiche plus

# Chap.n°1: Raisonnement par récurrence Une démonstration par récurrence consiste à démontrer qu'une infinité de propositions dépendantes d

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Principe du raisonnement par récurrence

Le raisonnement par récurrence te permet de démontrer qu'une proposition PnP_n est vraie pour une infinité de valeurs, sans avoir à vérifier chaque cas individuellement. C'est comme grimper un escalier infini en vérifiant seulement deux choses !

La méthode se décompose en deux étapes essentielles. D'abord, l'initialisation : on vérifie que la propriété est vraie pour le premier rang n0n_0. Ensuite, l'hérédité : on prouve que si la propriété est vraie pour un entier nn quelconque (c'est l'hypothèse de récurrence), alors elle est également vraie pour n+1n+1.

Ces deux étapes suffisent à prouver que la propriété est vraie pour tous les entiers à partir de n0n_0. C'est comme si tu montrais que tu peux monter sur la première marche, puis que si tu es sur une marche, tu peux toujours atteindre la suivante.

💡 Astuce : Lorsque tu rédiges l'étape d'hérédité, commence toujours par indiquer clairement ton hypothèse de récurrence (HR) avant de démontrer la propriété au rang suivant.

# Chap.n°1: Raisonnement par récurrence Une démonstration par récurrence consiste à démontrer qu'une infinité de propositions dépendantes d

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Exemple de démonstration par récurrence

Prenons un exemple concret de démonstration par récurrence avec une suite définie par u0=2u_0=2 et un+1=2un−3u_{n+1}=2u_n-3 pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}. Nous voulons prouver que un=3−2nu_n=3-2^n pour tout entier naturel.

Pour l'initialisation, vérifions que la formule est vraie pour n=0n=0 : u0=2u_0=2 (d'après la définition) et 3−20=3−1=23-2^0=3-1=2. La formule est donc vérifiée pour le rang initial.

Passons maintenant à l'hérédité. Supposons que la propriété un=3−2nu_n=3-2^n soit vraie pour un certain nn (c'est notre hypothèse de récurrence). Calculons un+1u_{n+1} en utilisant la relation de récurrence : un+1=2un−3=2(3−2n)−3=6−2×2n−3=6−2n+1−3=3−2n+1u_{n+1}=2u_n-3=2(3-2^n)-3=6-2×2^n-3=6-2^{n+1}-3=3-2^{n+1}.

La propriété est donc vraie au rang n+1n+1 quand elle est vraie au rang nn. Comme l'initialisation et l'hérédité sont prouvées, le raisonnement par récurrence nous permet de conclure que la formule un=3−2nu_n=3-2^n est vraie pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.

💡 Conseil pratique : Dans les exercices de suites, le raisonnement par récurrence est souvent la clé pour démontrer des formules explicites à partir d'une définition par récurrence.

Si on te demande...

Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?

Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

Où puis-je télécharger l'application Knowunity ?

Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.

L'application est-elle vraiment gratuite ?

Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

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4.8/5

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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