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Raisonnement par Récurrence : Guide Complet et Exercices Corrigés

55

0

L

Lilou Urdiales

03/09/2025

Maths

Raisonnement par récurrence

Matières

Maths

1 294

•

3 sept. 2025

•

2 pages

Raisonnement par Récurrence : Guide Complet et Exercices Corrigés

L

Lilou Urdiales

@lil.udls

Le raisonnement par récurrenceest une méthode puissante pour démontrer... Affiche plus

Chap.n°1: Raisonnement par récurrence Une demonstration recurrence consiste à par démontrer qu'une infinité de propositions dépendantes d'un

Principe de la démonstration par récurrence

La démonstration par récurrence est comme un effet domino mathématique. Elle te permet de prouver qu'une propriété PnP_n est vraie pour tous les entiers naturels à partir d'un certain rang n0n_0.

Cette méthode se déroule en deux étapes essentielles. D'abord, l'initialisation : tu vérifies que la propriété est vraie au rang initial n0n_0. Ensuite, l'hérédité : tu montres que si la propriété est vraie pour un certain entier nn, alors elle est forcément vraie pour n+1n+1.

Pour prouver l'hérédité, tu poses ce qu'on appelle l'hypothèse de récurrence HRHR : tu supposes que PnP_n est vraie pour un nn quelconque fixé. Puis tu démontres que Pn+1P_{n+1} est aussi vraie.

💡 Le raisonnement par récurrence dans la vie de tous les jours, c'est comme apprendre à faire du vélo : une fois que tu maîtrises l'équilibre (initialisation), chaque coup de pédale te fait avancer plus loin (hérédité) !

Prenons un exemple concret avec une suite définie par u0=2u_0 = 2 et un+1=2un−3u_{n+1} = 2u_n - 3. Nous voulons démontrer que un=3−2nu_n = 3 - 2^n pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.

Chap.n°1: Raisonnement par récurrence Une demonstration recurrence consiste à par démontrer qu'une infinité de propositions dépendantes d'un

Exercice corrigé : démonstration par récurrence d'une suite

Pour notre exemple de suite unu_n, commençons par l'initialisation. On vérifie P0P_0 : u0=2u_0 = 2 donneˊdonné et 3−20=3−1=23 - 2^0 = 3 - 1 = 2. Donc P0P_0 est vraie.

Passons à l'hérédité. On suppose que PnP_n est vraie pour un certain nn, c'est-à-dire que un=3−2nu_n = 3 - 2^n notrehypotheˋsedereˊcurrencenotre hypothèse de récurrence. Maintenant, calculons un+1u_{n+1} :

un+1=2un−3u_{n+1} = 2u_n - 3 =2×(3−2n)−3= 2 \times (3 - 2^n) - 3 (d'après HR) =6−2×2n−3= 6 - 2 \times 2^n - 3 =6−2n+1−3= 6 - 2^{n+1} - 3 =3−2n+1= 3 - 2^{n+1}

Nous venons de prouver que un+1=3−2n+1u_{n+1} = 3 - 2^{n+1}, donc Pn+1P_{n+1} est vraie. La propriété est vraie au rang initial et héréditaire, donc elle est vraie pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.

🔑 Dans la rédaction d'une démonstration par récurrence, sois méthodique : commence par définir clairement la propriété PnP_n, puis traite l'initialisation et l'hérédité comme deux paragraphes distincts.

Cette méthode peut s'appliquer à de nombreux types de problèmes : formules de sommes, propriétés des suites, inégalités et bien d'autres exercices mathématiques.



Si on te demande...

Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?

Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

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Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

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Les étudiants nous adorent — il ne manque plus que toi.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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1 294

•

3 sept. 2025

•

2 pages

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L

Lilou Urdiales

@lil.udls

Le raisonnement par récurrence est une méthode puissante pour démontrer qu'une propriété est vraie pour une infinité de nombres entiers. Cette technique fondamentale en mathématiques te permettra de prouver des formules générales et de résoudre des problèmes complexes avec élégance.

Chap.n°1: Raisonnement par récurrence Une demonstration recurrence consiste à par démontrer qu'une infinité de propositions dépendantes d'un

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Principe de la démonstration par récurrence

La démonstration par récurrence est comme un effet domino mathématique. Elle te permet de prouver qu'une propriété PnP_n est vraie pour tous les entiers naturels à partir d'un certain rang n0n_0.

Cette méthode se déroule en deux étapes essentielles. D'abord, l'initialisation : tu vérifies que la propriété est vraie au rang initial n0n_0. Ensuite, l'hérédité : tu montres que si la propriété est vraie pour un certain entier nn, alors elle est forcément vraie pour n+1n+1.

Pour prouver l'hérédité, tu poses ce qu'on appelle l'hypothèse de récurrence HRHR : tu supposes que PnP_n est vraie pour un nn quelconque fixé. Puis tu démontres que Pn+1P_{n+1} est aussi vraie.

💡 Le raisonnement par récurrence dans la vie de tous les jours, c'est comme apprendre à faire du vélo : une fois que tu maîtrises l'équilibre (initialisation), chaque coup de pédale te fait avancer plus loin (hérédité) !

Prenons un exemple concret avec une suite définie par u0=2u_0 = 2 et un+1=2un−3u_{n+1} = 2u_n - 3. Nous voulons démontrer que un=3−2nu_n = 3 - 2^n pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.

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Exercice corrigé : démonstration par récurrence d'une suite

Pour notre exemple de suite unu_n, commençons par l'initialisation. On vérifie P0P_0 : u0=2u_0 = 2 donneˊdonné et 3−20=3−1=23 - 2^0 = 3 - 1 = 2. Donc P0P_0 est vraie.

Passons à l'hérédité. On suppose que PnP_n est vraie pour un certain nn, c'est-à-dire que un=3−2nu_n = 3 - 2^n notrehypotheˋsedereˊcurrencenotre hypothèse de récurrence. Maintenant, calculons un+1u_{n+1} :

un+1=2un−3u_{n+1} = 2u_n - 3 =2×(3−2n)−3= 2 \times (3 - 2^n) - 3 (d'après HR) =6−2×2n−3= 6 - 2 \times 2^n - 3 =6−2n+1−3= 6 - 2^{n+1} - 3 =3−2n+1= 3 - 2^{n+1}

Nous venons de prouver que un+1=3−2n+1u_{n+1} = 3 - 2^{n+1}, donc Pn+1P_{n+1} est vraie. La propriété est vraie au rang initial et héréditaire, donc elle est vraie pour tout n∈Nn \in \mathbb{N}.

🔑 Dans la rédaction d'une démonstration par récurrence, sois méthodique : commence par définir clairement la propriété PnP_n, puis traite l'initialisation et l'hérédité comme deux paragraphes distincts.

Cette méthode peut s'appliquer à de nombreux types de problèmes : formules de sommes, propriétés des suites, inégalités et bien d'autres exercices mathématiques.

Si on te demande...

Qu'est-ce que le compagnon IA de Knowunity ?

Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.

Où puis-je télécharger l'application Knowunity ?

Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.

L'application est-elle vraiment gratuite ?

Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!

Rien ne te convient ? Explore d'autres matières.

Les étudiants nous adorent — il ne manque plus que toi.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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