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Raisonnement par récurrence
Raisonnement par récurrence
Raisonnement par récurrence
Victoria
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Énonce et exemples
Tle
Fiche de révision
Enoncé du principe Pour montrer par récurrence qu'une proprieté relative à un entier naturel n est vraie to E IN: - LE RAISONNEMENT PAR RÉCURRENCE C8-1 a démontrer qu'elle est vraie pour no 4 INITIALISATION c'est à demontrer qu'elle est héréditaire dire supposer qu'elle est vraie au rang & (HR) et montrer qu'elle est vraie au rany 2+1. 4 HÉRÉDITÉ elle est - la proprieté est vraie au rang o hereditaire, elle st done vraie MEIN. 1, CONCLUSION Exemple n° 1 * On considere la suite (Un) definie sur IN par = 1 et Un+₁ = 3U₁ -2 Montser que (Un) est une suite constante. U₂ • Je Newx montrer que, Un EIN, Un = 1 Initialisation on montre que c'est vrai au rang 0 ie V₂ = 1 vrai Ténoncé Heredite Soit & EIN on suppose que c'est vrai au rang k, ie U₂ = 1. Monitrons que c'est vrai au rang h+₁, ie 0&+1 =1. HR Up+₁ = 3√2-2 3x -2 =1 CONCLUSION 8 = O, elle la proprieté est vrave au rang et hereditaire, donc elle est vraie FOEIN. C Exemple n° 2 * On considere la suite (Un), definie par Опал U₁+₁ = ²U₁ -1. 3/3 U ₁ - 1 Montrer que la suite est majorée par-3. On veut montrer que to EN, Un 6-3 Initialisation on montre que c'st vrai ou rang O ie 0₂ 4-3: 7 Do = - 5 (eñoncé) -5-5-~3 donc U₂ ≤-3 Heredite. Soit & &IN, on suppose que c'est...
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Légende alternative :
vrai au rang k i U₂ <-3 (HR). Montrons que c'est vrai au rany 1+₁, ie Uk +₁ 63. UR+ ₁ = = UR - 1. 3 Vo = -5 et 02 5 -3 (HR) () 를 UB - 1 < 돛X -3 -1 3 3 (2) Ub₂+1 6-3 CONCLUSION au • la proprieté est vraie ou rang 0 elle est héréditaire 2 -elle et done vraie VnEN.