Les fonctions polynômes du second degré sont partout dans ta...
Le Second Degré en Mathématiques - Spécialité 1ère Générale





Les bases des fonctions du second degré
Une fonction polynôme du second degré s'écrit sous la forme f = ax² + bx + c. Le truc génial, c'est qu'on peut la transformer en forme canonique : f = a² + β.
Pour trouver α et β, c'est simple : α = -b/2a et β = f(α). Cette forme canonique te donne directement les infos les plus importantes sur ta fonction !
La représentation graphique donne toujours une parabole. Si a > 0, elle sourit (concave vers le haut), si a < 0, elle fait la tête (concave vers le bas).
Astuce pratique : Le sommet de la parabole a pour coordonnées (α ; β), et l'axe de symétrie est la droite x = α. Quand a > 0, β est le minimum ; quand a < 0, β est le maximum.

Résoudre les équations avec le discriminant
Pour résoudre ax² + bx + c = 0, tu utilises le discriminant Δ = b² - 4ac. C'est ton meilleur ami pour savoir combien de solutions tu auras !
Trois cas possibles : si Δ > 0, tu as 2 solutions distinctes ; si Δ = 0, une seule solution ; si Δ < 0, aucune solution réelle.
Les formules des solutions sont x₁ = /2a et x₂ = /2a quand Δ > 0.
Bonus utile : La somme des racines S = -b/a et leur produit P = c/a. Ces relations peuvent te faire gagner du temps dans certains exercices !

Factorisation et étude du signe
La factorisation dépend de ton discriminant. Si Δ = 0, tu écris f = a². Si Δ > 0, c'est f = ax - x₁$$x - x₂.
Pour l'étude du signe, tout dépend du signe de "a" et du nombre de racines. Sans racines, le signe de f est constant (même signe que a).
Avec une racine double, f garde le signe de "a" partout sauf au sommet où elle s'annule. Les tableaux de signes te permettent de visualiser ces variations facilement.
Méthode rapide : Regarde d'abord le signe de "a", puis place tes racines sur l'axe. Entre les racines, le signe change !

Cas avec deux racines distinctes
Quand tu as deux racines distinctes x₁ et x₂ (avec Δ > 0), le tableau de signes devient plus intéressant. La fonction change de signe à chaque racine.
Si a > 0 : f est positive à l'extérieur des racines et négative entre elles. Si a < 0 : c'est l'inverse, négative à l'extérieur et positive entre les racines.
Cette règle du changement de signe est cruciale pour résoudre les inéquations du second degré que tu rencontreras souvent en contrôle.
Astuce de pro : Dessine toujours un petit schéma de la parabole pour visualiser où elle est positive ou négative !
Si on te demande...
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