Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Cette page approfondit les notions de schéma de Bernoulli et de loi binomiale, qui sont des extensions naturelles de l'épreuve de Bernoulli à des situations impliquant des répétitions multiples.

Définition: Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p consiste en la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, chacune ayant une probabilité p de succès.

Le schéma de Bernoulli est un modèle puissant pour analyser des situations où une même expérience à deux issues est répétée plusieurs fois de manière indépendante.

La loi binomiale, notée B(n,p), découle directement du schéma de Bernoulli. Elle décrit la distribution du nombre de succès obtenus lors de n répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli.

Formule: Pour Y suivant une loi binomiale B(n,p), la probabilité d'obtenir exactement k succès est donnée par P(Y = k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k), où C(n,k) est le coefficient binomial.

Cette formule est fondamentale pour calculer des probabilités dans de nombreuses situations pratiques impliquant des successions d'épreuves indépendantes.

Highlight: Les propriétés de la loi binomiale incluent son espérance E(Y) = np, sa variance V(Y) = np(1-p), et son écart-type σ(Y) = √(np(1-p)).

Ces propriétés sont essentielles pour analyser et prédire les résultats d'expériences répétées, comme dans les sondages, les contrôles de qualité, ou les études épidémiologiques.

Exemple: Dans un contrôle de qualité où chaque produit a une probabilité p de 0,05 d'être défectueux, la loi binomiale peut être utilisée pour calculer la probabilité d'avoir exactement 3 produits défectueux sur un échantillon de 100.

La compréhension approfondie du schéma de Bernoulli et de la loi binomiale est cruciale pour maîtriser les concepts avancés en probabilités et statistiques, notamment pour résoudre des exercices corrigés sur la succession d'épreuves indépendantes ou pour appliquer la loi de concentration en probabilité.