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Explorons le Schéma de Bernoulli et la Loi Binomiale: Exercices Corrigés et Explications Simples

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Mr.Duron

26/05/2022

Maths

Succession d'épreuves indépendantes

Explorons le Schéma de Bernoulli et la Loi Binomiale: Exercices Corrigés et Explications Simples

La succession d'épreuves indépendantes en probabilités est un concept fondamental en mathématiques. Ce document explore les principes clés, notamment :

  • Les propriétés des successions d'épreuves indépendantes
  • Le schéma de Bernoulli et la loi binomiale
  • La modélisation avec des arbres pondérés
  • Les caractéristiques de l'épreuve de Bernoulli
  • La variance et l'espérance dans la loi de Bernoulli
...

26/05/2022

805

Succession d'épreuves indépendantes :
Rappels:
On peut représenter une succession d'épreuves quelconques par un
arbre pondéré (ci-contre) où

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Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Cette page approfondit les notions de schéma de Bernoulli et de loi binomiale, qui sont des extensions naturelles de l'épreuve de Bernoulli à des situations impliquant des répétitions multiples.

Définition: Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p consiste en la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, chacune ayant une probabilité p de succès.

Le schéma de Bernoulli est un modèle puissant pour analyser des situations où une même expérience à deux issues est répétée plusieurs fois de manière indépendante.

La loi binomiale, notée B(n,p), découle directement du schéma de Bernoulli. Elle décrit la distribution du nombre de succès obtenus lors de n répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli.

Formule: Pour Y suivant une loi binomiale B(n,p), la probabilité d'obtenir exactement k succès est donnée par P(Y = k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k), où C(n,k) est le coefficient binomial.

Cette formule est fondamentale pour calculer des probabilités dans de nombreuses situations pratiques impliquant des successions d'épreuves indépendantes.

Highlight: Les propriétés de la loi binomiale incluent son espérance E(Y) = np, sa variance V(Y) = np(1-p), et son écart-type σ(Y) = √(np(1-p)).

Ces propriétés sont essentielles pour analyser et prédire les résultats d'expériences répétées, comme dans les sondages, les contrôles de qualité, ou les études épidémiologiques.

Exemple: Dans un contrôle de qualité où chaque produit a une probabilité p de 0,05 d'être défectueux, la loi binomiale peut être utilisée pour calculer la probabilité d'avoir exactement 3 produits défectueux sur un échantillon de 100.

La compréhension approfondie du schéma de Bernoulli et de la loi binomiale est cruciale pour maîtriser les concepts avancés en probabilités et statistiques, notamment pour résoudre des exercices corrigés sur la succession d'épreuves indépendantes ou pour appliquer la loi de concentration en probabilité.

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Stefan S., utilisateur iOS

L'application est très simple à utiliser et bien faite. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais :D

Lola, utilisatrice iOS

J'adore cette application ❤️ Je l'utilise presque tout le temps pour réviser.

 

Maths

805

12 août 2025

2 pages

Explorons le Schéma de Bernoulli et la Loi Binomiale: Exercices Corrigés et Explications Simples

La succession d'épreuves indépendantes en probabilités est un concept fondamental en mathématiques. Ce document explore les principes clés, notamment :

  • Les propriétés des successions d'épreuves indépendantes
  • Le schéma de Bernoulli et la loi binomiale
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Schéma de Bernoulli et loi binomiale

Cette page approfondit les notions de schéma de Bernoulli et de loi binomiale, qui sont des extensions naturelles de l'épreuve de Bernoulli à des situations impliquant des répétitions multiples.

Définition: Un schéma de Bernoulli de paramètres n et p consiste en la répétition de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes, chacune ayant une probabilité p de succès.

Le schéma de Bernoulli est un modèle puissant pour analyser des situations où une même expérience à deux issues est répétée plusieurs fois de manière indépendante.

La loi binomiale, notée B(n,p), découle directement du schéma de Bernoulli. Elle décrit la distribution du nombre de succès obtenus lors de n répétitions indépendantes d'une épreuve de Bernoulli.

Formule: Pour Y suivant une loi binomiale B(n,p), la probabilité d'obtenir exactement k succès est donnée par P(Y = k) = C(n,k) * p^k * (1-p)^(n-k), où C(n,k) est le coefficient binomial.

Cette formule est fondamentale pour calculer des probabilités dans de nombreuses situations pratiques impliquant des successions d'épreuves indépendantes.

Highlight: Les propriétés de la loi binomiale incluent son espérance E(Y) = np, sa variance V(Y) = np(1-p), et son écart-type σ(Y) = √(np(1-p)).

Ces propriétés sont essentielles pour analyser et prédire les résultats d'expériences répétées, comme dans les sondages, les contrôles de qualité, ou les études épidémiologiques.

Exemple: Dans un contrôle de qualité où chaque produit a une probabilité p de 0,05 d'être défectueux, la loi binomiale peut être utilisée pour calculer la probabilité d'avoir exactement 3 produits défectueux sur un échantillon de 100.

La compréhension approfondie du schéma de Bernoulli et de la loi binomiale est cruciale pour maîtriser les concepts avancés en probabilités et statistiques, notamment pour résoudre des exercices corrigés sur la succession d'épreuves indépendantes ou pour appliquer la loi de concentration en probabilité.

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Succession d'épreuves indépendantes et épreuve de Bernoulli

Cette page introduit les concepts de succession d'épreuves indépendantes et d'épreuve de Bernoulli, essentiels en théorie des probabilités. Elle explique comment modéliser ces situations et présente leurs propriétés fondamentales.

Définition: Une succession d'épreuves indépendantes se produit lorsque le résultat d'une épreuve n'influence pas le résultat des épreuves suivantes.

La modélisation d'une succession d'épreuves indépendantes peut se faire à l'aide d'un arbre pondéré à n niveaux, où n est le nombre d'épreuves. Cette représentation permet de visualiser clairement les différentes issues possibles et leurs probabilités associées.

Highlight: La probabilité d'une issue spécifique dans une succession de n épreuves indépendantes est égale au produit des probabilités de ses composantes individuelles.

Le document introduit ensuite l'épreuve de Bernoulli, un cas particulier d'expérience aléatoire à deux issues seulement.

Définition: Une épreuve de Bernoulli est une expérience aléatoire avec exactement deux issues possibles, généralement appelées "succès" (probabilité p) et "échec" (probabilité 1-p).

La variable aléatoire associée à une épreuve de Bernoulli, notée X, suit la loi de Bernoulli de paramètre p. Cette loi a des propriétés spécifiques :

Formule: L'espérance d'une variable suivant la loi de Bernoulli est E(X) = p, et sa variance est V(X) = p(1-p).

Ces concepts forment la base pour comprendre des situations plus complexes en probabilités, notamment le schéma de Bernoulli et la loi binomiale.

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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