Loi binomiale et ses propriétés

La loi binomiale est introduite comme une extension naturelle du schéma de Bernoulli. Elle modélise le nombre de succès dans une succession d'épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes.

Définition: Une variable aléatoire X suit une loi binomiale de paramètres n et p, notée X ~ B(n,p), si elle compte le nombre de succès dans n épreuves de Bernoulli indépendantes, chacune ayant une probabilité de succès p.

La formule de la loi binomiale est présentée :

P(X=k) = (n k) p^k (1-p)^(n-k)

où (n k) représente le coefficient binomial.

Exemple: Pour X ~ B(10, 0,68), la probabilité d'obtenir exactement 8 succès est calculée comme P(X=8) = (10 8) × 0,68⁸ × 0,32² ≈ 0,21.

Les propriétés importantes de la loi binomiale sont également abordées :

• Espérance : E(X) = np
• Variance : V(X) = np(1-p)
• Écart-type : σ(X) = √(np(1-p))

Highlight: L'espérance E(X) représente le nombre moyen de succès sur un grand nombre de répétitions de l'expérience.

Répétition d'épreuves indépendantes

Ce chapitre introduit les concepts fondamentaux de la répétition d'épreuves indépendantes en probabilités. Les expériences sont considérées comme identiques et indépendantes lorsqu'elles ont les mêmes issues et que chaque issue a la même probabilité. La probabilité d'obtenir une séquence spécifique d'issues est calculée en multipliant les probabilités individuelles de chaque issue.

Exemple: Pour une succession de 6 épreuves avec les issues G, D, et A, l'univers serait Ω = {G,D,A}⁶. La probabilité d'obtenir la séquence (D,D,G,D,D,A) serait P(D)⁴ × P(G) × P(A).

Le schéma de Bernoulli est présenté comme un cas particulier d'épreuve à deux issues, souvent appelées "succès" (S) et "échec" (E), avec P(S) = p et P(E) = 1-p = q. Une variable aléatoire X suivant une loi de Bernoulli prend la valeur 1 en cas de succès et 0 en cas d'échec.

Définition: Une succession de n épreuves de Bernoulli identiques et indépendantes constitue un schéma de Bernoulli.

Highlight: La représentation graphique d'un schéma de Bernoulli se fait souvent sous forme d'arbre à n niveaux, où chaque chemin correspond à une issue possible de l'expérience globale.