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Maths

3 531

•

3 févr. 2022

•

2 pages

Démonstration et Suite Récurrence: Exercices Corrigés PDF pour Terminale

E

Emeline

@emelinectd

La démonstration par récurrenceest une méthode mathématique puissante pour... Affiche plus

I-DÉMONSTRATION PAR RÉCURRENCE THÉORÈME SUITES ET RÉCURRENCE Soit P(n) une proposition qui dépend d'un entier naturel n. Si P(no) est vraie

II - Sens de variation - Suites majorées, minorées

Cette section aborde les concepts essentiels pour l'étude des suites numériques, notamment leur sens de variation et leurs propriétés de majoration et minoration.

Vocabulaire:

  • Une suite croissante : un+1 ≥ un pour tout n
  • Une suite strictement croissante : un+1 > un pour tout n
  • Une suite décroissante : un+1 ≤ un pour tout n
  • Une suite strictement décroissante : un+1 < un pour tout n
  • Une suite constante : un+1 = un pour tout n
  • Une suite monotone : soit croissante, soit décroissante

Ces définitions sont cruciales pour comprendre le sens de variation d'une suite récurrente.

Le document présente trois méthodes pour étudier la monotonie d'une suite :

  1. Méthode algébrique : étudier le signe de un+1 - un
  2. Méthode fonctionnelle : pour une suite définie par un = fnn, étudier les variations de f
  3. Méthode de raisonnement par récurrence : particulièrement utile pour les suites définies par une relation de récurrence un+1 = funun

Définition:

  • Une suite unun est majorée par M si un ≤ M pour tout n
  • Une suite unun est minorée par m si un ≥ m pour tout n
  • Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée

Ces concepts sont essentiels pour résoudre des exercices sur les suites majorées et minorées.

Exemple: Le document présente une suite définie par récurrence : u0 = 1 et un+1 = un² + 1. Cette suite est minorée par 11 mais n'est pas majorée.

Cet exemple illustre parfaitement comment aborder un exercice corrigé sur les suites bornées.

Highlight: La compréhension du sens de variation et des propriétés de majoration et minoration des suites est fondamentale pour l'analyse mathématique en Terminale et au-delà.

I-DÉMONSTRATION PAR RÉCURRENCE THÉORÈME SUITES ET RÉCURRENCE Soit P(n) une proposition qui dépend d'un entier naturel n. Si P(no) est vraie

I - Démonstration par récurrence

La démonstration par récurrence est une technique fondamentale en mathématiques pour prouver des propriétés sur les entiers naturels. Elle s'appuie sur le principe de récurrence mathématique.

Définition: Le théorème de récurrence stipule que si une propriété Pnn est vraie pour un entier initial n0 initialisationinitialisation et si Pnn vraie implique Pn+1n+1 vraie heˊreˊditeˊhérédité, alors Pnn est vraie pour tout entier n ≥ n0.

Cette méthode est particulièrement utile pour les exercices de raisonnement par récurrence en Terminale.

Exemple: Le document illustre cette méthode en démontrant la formule de la somme des n premiers entiers positifs : 1 + 2 + ... + n = nn+1n+1/2.

  1. Initialisation : On vérifie que la formule est vraie pour n = 1.
  2. Hérédité : On suppose la formule vraie pour n et on démontre qu'elle reste vraie pour n+1.

Cette démonstration est un excellent exercice de récurrence pour la Terminale S, souvent rencontré dans les exercices corrigés de démonstration par récurrence PDF.

Highlight: La démonstration par récurrence est une compétence cruciale pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques, notamment ceux impliquant des suites.



Rien ne te convient ? Explore d'autres matières.

Les étudiants nous adorent — il ne manque plus que toi.

4.9/5

App Store

4.8/5

Google Play

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

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II - Sens de variation - Suites majorées, minorées

Cette section aborde les concepts essentiels pour l'étude des suites numériques, notamment leur sens de variation et leurs propriétés de majoration et minoration.

Vocabulaire:

  • Une suite croissante : un+1 ≥ un pour tout n
  • Une suite strictement croissante : un+1 > un pour tout n
  • Une suite décroissante : un+1 ≤ un pour tout n
  • Une suite strictement décroissante : un+1 < un pour tout n
  • Une suite constante : un+1 = un pour tout n
  • Une suite monotone : soit croissante, soit décroissante

Ces définitions sont cruciales pour comprendre le sens de variation d'une suite récurrente.

Le document présente trois méthodes pour étudier la monotonie d'une suite :

  1. Méthode algébrique : étudier le signe de un+1 - un
  2. Méthode fonctionnelle : pour une suite définie par un = fnn, étudier les variations de f
  3. Méthode de raisonnement par récurrence : particulièrement utile pour les suites définies par une relation de récurrence un+1 = funun

Définition:

  • Une suite unun est majorée par M si un ≤ M pour tout n
  • Une suite unun est minorée par m si un ≥ m pour tout n
  • Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée

Ces concepts sont essentiels pour résoudre des exercices sur les suites majorées et minorées.

Exemple: Le document présente une suite définie par récurrence : u0 = 1 et un+1 = un² + 1. Cette suite est minorée par 11 mais n'est pas majorée.

Cet exemple illustre parfaitement comment aborder un exercice corrigé sur les suites bornées.

Highlight: La compréhension du sens de variation et des propriétés de majoration et minoration des suites est fondamentale pour l'analyse mathématique en Terminale et au-delà.

I-DÉMONSTRATION PAR RÉCURRENCE THÉORÈME SUITES ET RÉCURRENCE Soit P(n) une proposition qui dépend d'un entier naturel n. Si P(no) est vraie

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I - Démonstration par récurrence

La démonstration par récurrence est une technique fondamentale en mathématiques pour prouver des propriétés sur les entiers naturels. Elle s'appuie sur le principe de récurrence mathématique.

Définition: Le théorème de récurrence stipule que si une propriété Pnn est vraie pour un entier initial n0 initialisationinitialisation et si Pnn vraie implique Pn+1n+1 vraie heˊreˊditeˊhérédité, alors Pnn est vraie pour tout entier n ≥ n0.

Cette méthode est particulièrement utile pour les exercices de raisonnement par récurrence en Terminale.

Exemple: Le document illustre cette méthode en démontrant la formule de la somme des n premiers entiers positifs : 1 + 2 + ... + n = nn+1n+1/2.

  1. Initialisation : On vérifie que la formule est vraie pour n = 1.
  2. Hérédité : On suppose la formule vraie pour n et on démontre qu'elle reste vraie pour n+1.

Cette démonstration est un excellent exercice de récurrence pour la Terminale S, souvent rencontré dans les exercices corrigés de démonstration par récurrence PDF.

Highlight: La démonstration par récurrence est une compétence cruciale pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques, notamment ceux impliquant des suites.

Rien ne te convient ? Explore d'autres matières.

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4.9/5

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

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Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

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