II - Sens de variation - Suites majorées, minorées

Cette section aborde les concepts essentiels pour l'étude des suites numériques, notamment leur sens de variation et leurs propriétés de majoration et minoration.

Vocabulaire:

• Une suite croissante : un+1 ≥ un pour tout n
• Une suite strictement croissante : un+1 > un pour tout n
• Une suite décroissante : un+1 ≤ un pour tout n
• Une suite strictement décroissante : un+1 < un pour tout n
• Une suite constante : un+1 = un pour tout n
• Une suite monotone : soit croissante, soit décroissante

Ces définitions sont cruciales pour comprendre le sens de variation d'une suite récurrente.

Le document présente trois méthodes pour étudier la monotonie d'une suite :

1. Méthode algébrique : étudier le signe de un+1 - un
2. Méthode fonctionnelle : pour une suite définie par un = f$n$, étudier les variations de f
3. Méthode de raisonnement par récurrence : particulièrement utile pour les suites définies par une relation de récurrence un+1 = f(un)

Définition:

• Une suite (un) est majorée par M si un ≤ M pour tout n
• Une suite (un) est minorée par m si un ≥ m pour tout n
• Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée

Ces concepts sont essentiels pour résoudre des exercices sur les suites majorées et minorées.

Exemple: Le document présente une suite définie par récurrence : u0 = 1 et un+1 = un² + 1. Cette suite est minorée par 11 mais n'est pas majorée.

Cet exemple illustre parfaitement comment aborder un exercice corrigé sur les suites bornées.

Highlight: La compréhension du sens de variation et des propriétés de majoration et minoration des suites est fondamentale pour l'analyse mathématique en Terminale et au-delà.

I - Démonstration par récurrence

La démonstration par récurrence est une technique fondamentale en mathématiques pour prouver des propriétés sur les entiers naturels. Elle s'appuie sur le principe de récurrence mathématique.

Définition: Le théorème de récurrence stipule que si une propriété P$n$ est vraie pour un entier initial n0 (initialisation) et si P$n$ vraie implique P$n+1$ vraie (hérédité), alors P$n$ est vraie pour tout entier n ≥ n0.

Cette méthode est particulièrement utile pour les exercices de raisonnement par récurrence en Terminale.

Exemple: Le document illustre cette méthode en démontrant la formule de la somme des n premiers entiers positifs : 1 + 2 + ... + n = n$n+1$/2.

1. Initialisation : On vérifie que la formule est vraie pour n = 1.
2. Hérédité : On suppose la formule vraie pour n et on démontre qu'elle reste vraie pour n+1.

Cette démonstration est un excellent exercice de récurrence pour la Terminale S, souvent rencontré dans les exercices corrigés de démonstration par récurrence PDF.

Highlight: La démonstration par récurrence est une compétence cruciale pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques, notamment ceux impliquant des suites.