II - Sens de variation - Suites majorées, minorées
Cette section aborde les concepts essentiels pour l'étude des suites numériques, notamment leur sens de variation et leurs propriétés de majoration et minoration.
Vocabulaire:
- Une suite croissante : un+1 ≥ un pour tout n
- Une suite strictement croissante : un+1 > un pour tout n
- Une suite décroissante : un+1 ≤ un pour tout n
- Une suite strictement décroissante : un+1 < un pour tout n
- Une suite constante : un+1 = un pour tout n
- Une suite monotone : soit croissante, soit décroissante
Ces définitions sont cruciales pour comprendre le sens de variation d'une suite récurrente.
Le document présente trois méthodes pour étudier la monotonie d'une suite :
- Méthode algébrique : étudier le signe de un+1 - un
- Méthode fonctionnelle : pour une suite définie par un = f(n), étudier les variations de f
- Méthode de raisonnement par récurrence : particulièrement utile pour les suites définies par une relation de récurrence un+1 = f(un)
Définition:
- Une suite (un) est majorée par M si un ≤ M pour tout n
- Une suite (un) est minorée par m si un ≥ m pour tout n
- Une suite est bornée si elle est à la fois majorée et minorée
Ces concepts sont essentiels pour résoudre des exercices sur les suites majorées et minorées.
Exemple: Le document présente une suite définie par récurrence : u0 = 1 et un+1 = un² + 1. Cette suite est minorée par 11 mais n'est pas majorée.
Cet exemple illustre parfaitement comment aborder un exercice corrigé sur les suites bornées.
Highlight: La compréhension du sens de variation et des propriétés de majoration et minoration des suites est fondamentale pour l'analyse mathématique en Terminale et au-delà.
