Suites arithmétiques et géométriques
Ce document présente les concepts fondamentaux des suites arithmétiques et géométriques, essentiels en mathématiques. Il détaille leurs définitions, propriétés et formules clés.
Suites arithmétiques
Une suite arithmétique est caractérisée par l'ajout d'une constante, appelée raison, à chaque terme. La formule générale pour le n-ième terme est u_n = u_1 + (n-1)r, où u_1 est le premier terme et r la raison.
Définition: Une suite arithmétique est une suite où chaque terme est obtenu en ajoutant une constante (la raison) au terme précédent.
Exemple: Pour une suite arithmétique de premier terme 3 et de raison 5, on aurait : 3, 8, 13, 18, 23, ...
La croissance d'une suite arithmétique dépend de sa raison :
- Croissante si r > 0
- Décroissante si r < 0
- Constante si r = 0
Highlight: Dans un repère, les points représentant les termes d'une suite arithmétique sont alignés.
La somme des termes successifs d'une suite arithmétique est donnée par la formule :
S = (premier terme + dernier terme) × nombre de termes / 2
Formule: S = (u_1 + u_n) × n / 2
Suites géométriques
Une suite géométrique est caractérisée par la multiplication de chaque terme par une constante, appelée raison. La formule générale pour le n-ième terme est v_n = v_1 × q^(n-1), où v_1 est le premier terme et q la raison.
Définition: Une suite géométrique est une suite où chaque terme est obtenu en multipliant le terme précédent par une constante (la raison).
Exemple: Pour une suite géométrique de premier terme 2 et de raison 3, on aurait : 2, 6, 18, 54, 162, ...
La croissance d'une suite géométrique dépend de sa raison :
- Croissante si q > 1
- Décroissante si 0 < q < 1
- Oscillante si q < 0
Highlight: Les suites géométriques ont des comportements limites spécifiques. Par exemple, si |q| < 1, la suite converge vers 0.
La somme des termes successifs d'une suite géométrique est donnée par la formule :
S = (premier terme × (1 - raison^n)) / (1 - raison), si q ≠ 1
S = n × premier terme, si q = 1
Formule: S = v_1 × (1 - q^n) / (1 - q), pour q ≠ 1
Ces concepts sont fondamentaux pour résoudre de nombreux problèmes mathématiques et ont des applications dans divers domaines, de l'économie à la physique.
