Fiche de révision — Suites : récurrence, variation et majorations

Récurrence et Bornes d'une Suite

Le raisonnement par récurrence

Pour prouver qu'une propriété est vraie pour tout $n \ge n_0$ :

• Initialisation : vérifier que la propriété est vraie au premier rang $n_0$.
• Hérédité : prouver que si elle est vraie au rang $n$, elle l'est aussi au rang $n+1$.

Majorant, minorant et variations

• Suite majorée : il existe un réel $M$ tel que $U_n \le M$ pour tout $n$.
• Suite minorée : il existe un réel $m$ tel que $U_n \ge m$ pour tout $n$.
• Sens de variation : s'étudie avec le signe de $U_{n+1} - U_n$ ou en comparant $\frac{U_{n+1}}{U_n}$ à $1$ (si $U_n > 0$).

💡 Astuce : Une suite est dite bornée si elle est à la fois majorée et minorée.

Suites Géométriques et Représentation

Prouver qu'une suite $V_n$ est géométrique

• Méthode : exprimer $V_{n+1}$ en remplaçant $n$ par $n+1$.
• Calcul : utiliser la formule de récurrence de $U_n$, puis simplifier pour trouver $V_{n+1} = q \times V_n$.

Fonction associée et graphique

• Fonction associée : associer $U_{n+1} = f(U_n)$ à la fonction $f(x)$.
• Représentation : tracer la courbe de $f$ et la droite $y = x$.
• Construction : placer $U_0$ sur l'axe des abscisses, puis tracer un escalier alternant verticale vers la courbe et horizontale vers la droite.

Exemple : Pour $U_{n+1} = \frac{2U_n^2 - 6U_n}{U_n + 1}$ : On étudie la fonction associée $f(x) = \frac{2x^2 - 6x}{x + 1}$.

💡 Attention : L'escalier graphique permet de conjecturer la limite de la suite sans faire de calcul.