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Suites et récurrence
07/02/2022
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Mathématiques Chapitre 3: Suites et recurrence. T-Suites suite 2> (un= unse) →> croissante (un sun++), décroissante (un>unit) ou constante >07 WAIL C untt un -un Lount = f(un) * suite arithmétiques : unt+ = un tr * suite géométriques : unot - que * Suite arithméticogéométrique : Art = aun th 0 =0->> II- Raisonnement par recurrence def: une propriete est héréditaire " à partir d'un rg no, si lorsque pour kino la propriété est vraie alors elle est vraie pour l'enkier kil >17 <IN = 1 → £ • siune prop est vraie à l'initialisal: (rg no) « héréditaire, alors p est vraie Un € IN 0 Inégalité de Bernouilli (ex cahier): (1 +a)" > 1+na TP-Limites +∞o si • limite infinie :(un) admet lim pr contient ts les termes de la suite à partir d'un crin rg limite finie IT-Opérations sur les limites lim somme • lim, produit lim. quotient Mintervalle Ja;+∞0 [₁ les termes de la suite se resserrent autour de a. -> suite convergente (+ divergente) ks résultats = intuitifs sauf qd F1:00 : Ox " + ده ta olo "1 Méthode : Lover une indéterminal: -> factoriser la suite avec le terme le plus grand 4) ex: lim n²-Sn + 1 = Fl n-stoo t ex: lim n² + (-1) Tim n-sto e ² / 1- € + 2 O +0 • Théorème de comparaison soir (un) a (V-A) 2 suicles: si à partir d'1 crm rg un sv₂ a lim un = too alors lim VA 1-> +00 = +∞0 n->+∞0 •Theorème 2 ↓ + soir (un) a (Un) 2 suites si à partir d'l crin ng un >...
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Légende alternative :
Un a lim un= -00 alors Iim un : 6-> +60 ni+∞o -> 0+ 0 • Théorème d'encadrement (des gendarmes) rg soir (U₂) (UA) a (wa) 3 suites : si à partir d'1 crrn a lim un = I= lim WA alors lim Un=l 1= +∞o - 1 < (- 1)^ < 1 1²-1 < n² + (-1)^ <h² + 1 n + Un suite majorée : un «M suite minorée : un m suihe bornée : qd elle a un max (majorée) & un min (minorée) • Théorème des convergences monotones * si une suite est ↑ « majorée, alors elle est convergente ★ si une suite est > a minorée alors elle est convergente => lim = +∞0