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Comment reconnaître une suite arithmétique et géométrique ?

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C

Coccinellle

04/11/2023

Maths

Suites : Partie 2

Comment reconnaître une suite arithmétique et géométrique ?

Les suites mathématiques sont des séquences de nombres qui suivent des règles précises et permettent de modéliser de nombreux phénomènes.

Pour comment démontrer qu'une suite est arithmétique, il faut vérifier que la différence entre deux termes consécutifs est constante. Cette différence, appelée raison, reste la même tout au long de la suite. Par exemple, dans la suite 2, 5, 8, 11, 14, la raison est 3 car chaque terme augmente de 3. Pour le prouver, on calcule plusieurs différences consécutives (Un+1 - Un) et on vérifie qu'elles sont égales.

La formule de la somme des termes d'une suite arithmétique permet de calculer rapidement la somme des n premiers termes sans avoir à tous les additionner. Elle s'écrit : Sn = n(U1 + Un)/2 où U1 est le premier terme et Un le dernier terme. Cette formule est particulièrement utile pour les grandes suites. Pour comment identifier une suite géométrique, on observe le quotient entre deux termes consécutifs. Si ce quotient (q) reste constant, alors la suite est géométrique. Par exemple, dans la suite 2, 6, 18, 54, le quotient est toujours 3 car chaque terme est multiplié par 3 pour obtenir le suivant.

Les suites mathématiques trouvent de nombreuses applications dans la vie réelle. Les suites arithmétiques sont utilisées pour calculer des progressions régulières comme des salaires ou des remboursements fixes. Les suites géométriques modélisent des phénomènes de croissance ou de décroissance comme l'intérêt composé ou la dépréciation d'un bien. La maîtrise de ces concepts est essentielle pour comprendre de nombreux problèmes concrets et développer un raisonnement mathématique solide.

...

04/11/2023

988

Date
Title:
SUITES
PARTIE 2:
Suites arithmétiques
Une suite (un) est arithmétique si: IRER, VNEN, Mn+₁ = Um + r
rest la raison de la suite.

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Les Suites Arithmétiques : Principes Fondamentaux et Applications

Pour comment démontrer qu'une suite est arithmétique, il faut comprendre qu'une suite arithmétique se caractérise par une différence constante entre deux termes consécutifs. Cette différence, appelée raison, est notée r.

La suite unun est arithmétique si et seulement si pour tout n appartenant à ℕ, un+1 = un + r, où r est un nombre réel constant. Cette propriété fondamentale permet d'identifier rapidement une suite arithmétique en calculant la différence entre deux termes consécutifs.

Définition: Une suite arithmétique est une suite numérique dans laquelle l'écart entre deux termes consécutifs est constant.

La formule de la somme des termes d'une suite arithmétique s'exprime ainsi : S = np+1n-p+1 × up+unup + un/2, où :

  • n-p+1 représente le nombre de termes
  • up est le premier terme de la somme
  • un est le dernier terme de la somme

Exemple: Pour une suite arithmétique de premier terme u1 = 2 et de raison r = 3, les premiers termes sont : 2, 5, 8, 11, 14...

Le sens de variation d'une suite arithmétique dépend directement du signe de sa raison r :

  • Si r > 0, la suite est strictement croissante
  • Si r < 0, la suite est strictement décroissante
  • Si r = 0, la suite est constante
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SUITES
PARTIE 2:
Suites arithmétiques
Une suite (un) est arithmétique si: IRER, VNEN, Mn+₁ = Um + r
rest la raison de la suite.

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Les Suites Géométriques : Caractéristiques et Applications

Pour comment identifier une suite géométrique, il faut vérifier que le quotient entre deux termes consécutifs est constant. Ce quotient, appelé raison, est noté q.

Une suite unun est géométrique si et seulement si pour tout n appartenant à ℕ, un+1 = q × un, où q est un nombre réel non nul constant. Cette définition permet de reconnaître rapidement une suite géométrique.

Astuce: Pour démontrer qu'une suite est géométrique, on peut aussi montrer que le quotient un+1/un est constant.

La formule explicite d'une suite géométrique s'écrit :

  • Si le premier terme est u1 : un = u1 × qn-1
  • Si le premier terme est up : un = up × qn-p

La somme des termes consécutifs d'une suite géométrique suit la formule : S = up × 1qnp+11-qn-p+1/1q1-q, où q ≠ 1

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Une suite (un) est arithmétique si: IRER, VNEN, Mn+₁ = Um + r
rest la raison de la suite.

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Les Variations des Suites Géométriques

Le sens de variation d'une suite géométrique dépend à la fois du signe du premier terme et de la raison q :

Pour u1 > 0 :

  • Si q > 1, la suite est strictement croissante
  • Si 0 < q < 1, la suite est strictement décroissante
  • Si q = 1, la suite est constante

Important: Si q < 0, la suite n'est ni croissante ni décroissante, les termes changent alternativement de signe.

Pour u1 < 0 :

  • Si q > 1, la suite est strictement décroissante
  • Si 0 < q < 1, la suite est strictement croissante
  • Si q = 1, la suite est constante
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Les Suites Arithmético-géométriques

Une suite arithmético-géométrique est définie par une relation de récurrence de la forme un+1 = a × un + b, avec a ≠ 1 et b réels.

Ces suites présentent des cas particuliers intéressants :

  • Si b = 0, la suite devient géométrique de raison a
  • Si a = 0, la suite devient constante égale à b
  • Si a = 1, la suite devient arithmétique de raison b

Remarque: Contrairement à ce que leur nom suggère, les suites arithmético-géométriques ne sont généralement ni arithmétiques ni géométriques.

L'étude de ces suites nécessite une approche spécifique car les formules des suites arithmétiques et géométriques ne s'appliquent pas directement. Leur comportement dépend des valeurs des paramètres a et b.

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Stefan S., utilisateur iOS

L'application est très simple à utiliser et bien faite. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais :D

Lola, utilisatrice iOS

J'adore cette application ❤️ Je l'utilise presque tout le temps pour réviser.

 

Maths

988

4 nov. 2023

5 pages

Comment reconnaître une suite arithmétique et géométrique ?

C

Coccinellle

@coccinotes

Les suites mathématiques sont des séquences de nombres qui suivent des règles précises et permettent de modéliser de nombreux phénomènes.

Pour comment démontrer qu'une suite est arithmétique, il faut vérifier que la différence entre deux termes consécutifs est constante.... Affiche plus

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Les Suites Arithmétiques : Principes Fondamentaux et Applications

Pour comment démontrer qu'une suite est arithmétique, il faut comprendre qu'une suite arithmétique se caractérise par une différence constante entre deux termes consécutifs. Cette différence, appelée raison, est notée r.

La suite unun est arithmétique si et seulement si pour tout n appartenant à ℕ, un+1 = un + r, où r est un nombre réel constant. Cette propriété fondamentale permet d'identifier rapidement une suite arithmétique en calculant la différence entre deux termes consécutifs.

Définition: Une suite arithmétique est une suite numérique dans laquelle l'écart entre deux termes consécutifs est constant.

La formule de la somme des termes d'une suite arithmétique s'exprime ainsi : S = np+1n-p+1 × up+unup + un/2, où :

  • n-p+1 représente le nombre de termes
  • up est le premier terme de la somme
  • un est le dernier terme de la somme

Exemple: Pour une suite arithmétique de premier terme u1 = 2 et de raison r = 3, les premiers termes sont : 2, 5, 8, 11, 14...

Le sens de variation d'une suite arithmétique dépend directement du signe de sa raison r :

  • Si r > 0, la suite est strictement croissante
  • Si r < 0, la suite est strictement décroissante
  • Si r = 0, la suite est constante
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Les Suites Géométriques : Caractéristiques et Applications

Pour comment identifier une suite géométrique, il faut vérifier que le quotient entre deux termes consécutifs est constant. Ce quotient, appelé raison, est noté q.

Une suite unun est géométrique si et seulement si pour tout n appartenant à ℕ, un+1 = q × un, où q est un nombre réel non nul constant. Cette définition permet de reconnaître rapidement une suite géométrique.

Astuce: Pour démontrer qu'une suite est géométrique, on peut aussi montrer que le quotient un+1/un est constant.

La formule explicite d'une suite géométrique s'écrit :

  • Si le premier terme est u1 : un = u1 × qn-1
  • Si le premier terme est up : un = up × qn-p

La somme des termes consécutifs d'une suite géométrique suit la formule : S = up × 1qnp+11-qn-p+1/1q1-q, où q ≠ 1

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Les Variations des Suites Géométriques

Le sens de variation d'une suite géométrique dépend à la fois du signe du premier terme et de la raison q :

Pour u1 > 0 :

  • Si q > 1, la suite est strictement croissante
  • Si 0 < q < 1, la suite est strictement décroissante
  • Si q = 1, la suite est constante

Important: Si q < 0, la suite n'est ni croissante ni décroissante, les termes changent alternativement de signe.

Pour u1 < 0 :

  • Si q > 1, la suite est strictement décroissante
  • Si 0 < q < 1, la suite est strictement croissante
  • Si q = 1, la suite est constante
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Les Suites Arithmético-géométriques

Une suite arithmético-géométrique est définie par une relation de récurrence de la forme un+1 = a × un + b, avec a ≠ 1 et b réels.

Ces suites présentent des cas particuliers intéressants :

  • Si b = 0, la suite devient géométrique de raison a
  • Si a = 0, la suite devient constante égale à b
  • Si a = 1, la suite devient arithmétique de raison b

Remarque: Contrairement à ce que leur nom suggère, les suites arithmético-géométriques ne sont généralement ni arithmétiques ni géométriques.

L'étude de ces suites nécessite une approche spécifique car les formules des suites arithmétiques et géométriques ne s'appliquent pas directement. Leur comportement dépend des valeurs des paramètres a et b.

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Les Suites Numériques : Arithmétiques et Géométriques

Les suites numériques constituent un élément fondamental des mathématiques, particulièrement dans l'étude des progressions. Pour maîtriser ce sujet, il est essentiel de comprendre comment démontrer qu'une suite est arithmétique et comment identifier les différents types de suites.

Pour démontrer qu'une suite n'est pas arithmétique, il faut calculer plusieurs différences consécutives. Prenons l'exemple de la suite un = n². En calculant U₂-U₁ = 3 et U₃-U₂ = 5, nous constatons que ces différences ne sont pas égales. Cette variation prouve que la suite n'est pas arithmétique, car une suite arithmétique doit avoir une différence constante entre ses termes consécutifs.

Définition: Une suite arithmétique est caractérisée par une différence constante entre deux termes consécutifs. Cette différence est appelée la raison de la suite.

Pour comment identifier une suite géométrique, la méthode est similaire mais se base sur le quotient entre termes consécutifs. Une suite géométrique doit avoir un quotient constant entre deux termes consécutifs. Par exemple, pour la suite un = n² + 1, en calculant U₂/U₁ et U₃/U₂, nous obtenons des quotients différents, prouvant ainsi que la suite n'est pas géométrique.

Exemple: Pour la suite un = n² + 1 :

  • U₁ = 2
  • U₂ = 5
  • U₃ = 10 Le quotient U₂/U₁ = 2,5 et U₃/U₂ = 2 Ces quotients différents prouvent que la suite n'est pas géométrique.

La formule de la somme des termes d'une suite arithmétique est particulièrement utile pour les calculs de sommes. Pour une suite arithmétique de n termes, la somme Sn peut être calculée en utilisant la formule : Sn = na1+ana₁ + aₙ/2, où a₁ est le premier terme et aₙ le dernier terme.

Astuce: Pour identifier rapidement le type de suite, observez si :

  • La différence entre termes consécutifs est constante → suite arithmétique
  • Le quotient entre termes consécutifs est constant → suite géométrique
  • Aucun des deux → ni arithmétique ni géométrique

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

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Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

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