Apprends à Résoudre une Inéquation et Étudier les Variations avec des Exercices Simples

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Imad

16/12/2021

Maths

Tableaux de signes, inéquations

Matières

Maths

Apprends à Résoudre une Inéquation et Étudier les Variations avec des Exercices Simples

Name: Knowunity
Brand: Knowunity

Les inéquations et tableaux de signes sont des outils essentiels en mathématiques pour résoudre des problèmes d'optimisation et étudier le comportement des fonctions. Ce document présente plusieurs exercices détaillés sur ces concepts, couvrant la résolution graphique et algébrique d'inéquations, l'étude du signe de fonctions rationnelles et polynomiales, ainsi que l'interprétation géométrique des résultats.

• Les exercices abordent des techniques clés comme la factorisation, la mise en tableau de signes et l'étude des variations de fonctions.
• L'accent est mis sur la résolution pas à pas et l'explication détaillée du raisonnement mathématique.
• Les applications incluent la détermination d'ensembles de solutions et l'analyse du comportement de fonctions complexes.

...

16/12/2021

2813

EXERCICE 1
Soit f la fonction définie sur l'intervalle ] - 2; +∞o[ par f(x) =
dans le plan muni d'un repère orthogonal ci-dessous.
-2
X
y
f(

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Résolution d'équations et inéquations rationnelles

Cette page se concentre sur la résolution d'équations et d'inéquations impliquant des fractions rationnelles.

L'exercice débute par la résolution de l'équation (11-13x)/(3x-2) = 0. La méthode consiste à étudier séparément le numérateur et le dénominateur, en prenant soin d'exclure les valeurs interdites.

Definition: Une valeur interdite est une valeur qui annule le dénominateur d'une fraction rationnelle, rendant cette fraction indéfinie.

Ensuite, l'exercice aborde la résolution de l'inéquation (11-13x)/(3x-2) > 0. Cette résolution nécessite l'utilisation d'un tableau de signe, outil fondamental pour l'étude du signe des fractions rationnelles.

Highlight: Le tableau de signe permet de visualiser clairement les changements de signe de l'expression en fonction des racines du numérateur et du dénominateur.

La page se termine par un exercice de factorisation d'une expression polynomiale complexe, illustrant l'importance de cette technique dans la simplification et l'analyse des fonctions.

Example: L'expression f(x) = (4x²-25) - (2x - 5)(2-3x) est factorisée en f(x) = (2x-5)(5x+3), ce qui simplifie grandement l'étude de son signe.

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Étude du signe de fonctions polynomiales

Cette page se concentre sur l'étude du signe de fonctions polynomiales à travers des exercices de factorisation et de construction de tableaux de signe.

L'exercice principal porte sur la fonction f(x) = (4x²-25) - (2x - 5)(2-3x). Après factorisation, l'expression devient f(x) = (2x-5)(5x+3).

Technique: La factorisation est une étape cruciale pour simplifier l'étude du signe d'une fonction polynomiale.

Le tableau de signe est ensuite construit pour étudier le signe de chaque facteur et en déduire le signe global de la fonction.

Highlight: Le tableau de signe permet de visualiser clairement les intervalles où la fonction est positive, négative ou nulle.

La page aborde également la résolution d'inéquations à partir du tableau de signe obtenu.

Example: L'ensemble des solutions de l'inéquation (2x-5)(5x+3) < 0 est déterminé directement à partir du tableau de signe.

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Étude de fonctions rationnelles complexes

Cette page traite de l'étude de fonctions rationnelles plus complexes, en particulier celles impliquant des différences de carrés.

L'exercice principal porte sur la fonction f(x) = 9x² - (5x-3)². La première étape consiste à factoriser cette expression en utilisant la différence de deux carrés.

Technique: La formule a² - b² = (a+b)(a-b) est utilisée pour factoriser l'expression.

Après factorisation, on obtient f(x) = (-2x + 3)(8x-3). Un tableau de signe est ensuite construit pour étudier le signe de cette fonction.

Highlight: Le tableau de signe permet de déterminer précisément les intervalles où la fonction est positive, négative ou nulle.

La page se termine par la résolution d'une inéquation basée sur cette fonction, illustrant l'application pratique de l'étude du signe.

Example: L'ensemble des solutions de l'inéquation f(x) > 2 est déterminé en étudiant le signe de f(x) - 2.

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Étude de fractions rationnelles

Cette page se concentre sur l'étude approfondie d'une fraction rationnelle complexe.

L'exercice principal porte sur la fonction f(x) = (x-4)/(3x+1). La première étape consiste à déterminer l'ensemble de définition de cette fonction.

Definition: L'ensemble de définition d'une fraction rationnelle est l'ensemble des valeurs de x pour lesquelles le dénominateur n'est pas nul.

Ensuite, l'exercice aborde l'étude du signe de l'expression (7x-2)/(3x+1) - 2. Cette étude nécessite la mise en place d'un tableau de signe complexe.

Technique: Pour étudier le signe d'une différence de fractions, on les met au même dénominateur et on étudie le signe du numérateur obtenu.

Le tableau de signe permet de visualiser clairement les changements de signe de l'expression en fonction des racines du numérateur et du dénominateur.

Highlight: La construction et l'interprétation correctes du tableau de signe sont cruciales pour résoudre ce type de problème.

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Étude de fonctions polynomiales complexes

Cette dernière page aborde l'étude d'une fonction polynomiale complexe impliquant des différences de carrés.

L'exercice porte sur la fonction f(x) = (x+2)² - (2x-3)². La première étape consiste à développer et factoriser cette expression.

Technique: La formule de la différence de deux carrés a² - b² = (a+b)(a-b) est utilisée pour simplifier l'expression.

Après factorisation, on obtient une forme plus simple de la fonction, ce qui facilite l'étude de son signe et de ses variations.

Highlight: La factorisation est une étape clé pour simplifier l'analyse des fonctions polynomiales complexes.

Cette page illustre l'importance des techniques de factorisation et de mise en tableau de signe pour l'étude complète des fonctions polynomiales.

Example: L'étude du signe de cette fonction permet de résoudre des inéquations complexes et d'analyser son comportement sur différents intervalles.

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Definition: Une valeur interdite est une valeur qui annule le dénominateur d'une fraction rationnelle, rendant cette fraction indéfinie.

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Résolution graphique et algébrique d'inéquations

Cette page présente un exercice complet sur la résolution d'inéquations impliquant une fonction rationnelle.

L'exercice commence par une résolution graphique de l'inéquation f(x) ≥ 2, où f est définie par f(x) = 5/(x+2) sur l'intervalle ]-2; +∞[. La courbe représentative de f est fournie, permettant une lecture directe de la solution.

Ensuite, l'exercice passe à une étude algébrique du sens de variation de f. Par une méthode d'encadrement astucieuse, il est démontré que f est décroissante sur son domaine de définition.

Highlight: La méthode d'encadrement utilisée ici est un outil puissant pour étudier le sens de variation des fonctions rationnelles.

La dernière partie de l'exercice introduit une fonction affine g et étudie la différence f(x) - g(x). Cette approche permet une interprétation géométrique intéressante de la position relative des courbes de f et g.

Example: La différence f(x) - g(x) est exprimée sous la forme (x²-0,5x)/(x+2), ce qui permet d'étudier son signe et d'en déduire les positions relatives des courbes.

Vocabulary: Le tableau de signe est un outil graphique utilisé pour visualiser le signe d'une expression algébrique sur différents intervalles.

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