Le théorème de bijection et son application

Cette page se concentre sur le théorème de bijection et son application à la résolution d'équations sur des intervalles spécifiques. Le théorème est d'abord énoncé, puis illustré par un exemple pratique.

Définition: Le théorème de bijection affirme que si une fonction est continue et strictement monotone sur un intervalle fermé [a,b], avec des limites La et Lb aux extrémités, alors pour tout y entre La et Lb, l'équation f(x) = y admet une unique solution dans [a,b].

L'exemple présenté concerne la fonction g(x) = 2x² - 3x - x² - 1 définie sur [0,5]. L'étude de cette fonction est divisée en deux parties : sur [0,1] et sur [1,5].

Exemple: Pour g(x) = 2x² - 3x - x² - 1 sur [0,5], on étudie sa monotonie et on applique le théorème de bijection pour résoudre g(x) = 0.

On calcule d'abord la dérivée de g pour déterminer ses variations. Ensuite, on analyse le comportement de g sur chaque sous-intervalle.

Highlight: L'étude de la monotonie d'une fonction est cruciale pour appliquer le théorème de bijection et résoudre des équations.

La conclusion montre que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle [1,5], démontrant ainsi la puissance du théorème de bijection pour résoudre des équations complexes.

Vocabulaire: Une fonction strictement monotone est une fonction qui est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur tout son domaine de définition.