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0
Emma. Pdn
23/08/2025
Maths
théorème du point fixe - théorème de la bijection
387
•
23 août 2025
•
Emma. Pdn
@emma.pdn_ayex
Le théorème du point fixe et ses applications en analyse... Affiche plus
Cette page se concentre sur le théorème de bijection et son application à la résolution d'équations sur des intervalles spécifiques. Le théorème est d'abord énoncé, puis illustré par un exemple pratique.
Définition: Le théorème de bijection affirme que si une fonction est continue et strictement monotone sur un intervalle fermé [a,b], avec des limites La et Lb aux extrémités, alors pour tout y entre La et Lb, l'équation f(x) = y admet une unique solution dans [a,b].
L'exemple présenté concerne la fonction g(x) = 2x² - 3x - x² - 1 définie sur [0,5]. L'étude de cette fonction est divisée en deux parties : sur [0,1] et sur [1,5].
Exemple: Pour g(x) = 2x² - 3x - x² - 1 sur [0,5], on étudie sa monotonie et on applique le théorème de bijection pour résoudre g(x) = 0.
On calcule d'abord la dérivée de g pour déterminer ses variations. Ensuite, on analyse le comportement de g sur chaque sous-intervalle.
Highlight: L'étude de la monotonie d'une fonction est cruciale pour appliquer le théorème de bijection et résoudre des équations.
La conclusion montre que l'équation g(x) = 0 admet une unique solution dans l'intervalle [1,5], démontrant ainsi la puissance du théorème de bijection pour résoudre des équations complexes.
Vocabulaire: Une fonction strictement monotone est une fonction qui est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur tout son domaine de définition.
Cette page présente l'application du théorème du point fixe à travers deux exemples concrets. Le premier exemple traite d'une suite définie par récurrence, tandis que le second aborde une fonction rationnelle.
Définition: Le théorème du point fixe stipule que si une fonction continue est définie sur un intervalle fermé et que son image est incluse dans cet intervalle, alors elle admet au moins un point fixe.
Dans le premier exemple, on considère une suite définie par Un+1 = g(Un), où g(x) = (x + 2/x)/2. On admet que cette suite converge vers 1,41 pour tout réel strictement positif. Le théorème du point fixe est utilisé pour déterminer la limite précise.
Exemple: Pour la suite Un+1 = (Un + 2/Un)/2, on montre que la limite est √2 en utilisant le théorème du point fixe.
Le deuxième exemple traite d'une suite définie par Un+1 = f(Un), où f(x) = (x + 2)/(x + 1) sur l'intervalle [-1, +∞[. On démontre que cette suite est croissante et majorée, puis on utilise le théorème du point fixe pour trouver sa limite.
Highlight: La convergence d'une suite peut être prouvée en montrant qu'elle est monotone et bornée, puis en utilisant le théorème du point fixe pour déterminer sa limite.
Vocabulaire: Une suite monotone est une suite qui est soit toujours croissante, soit toujours décroissante.
Notre compagnon IA est spécialement conçu pour répondre aux besoins des étudiants. Sur la base des millions d'éléments de contenu que nous avons sur la plateforme, nous pouvons fournir des réponses vraiment significatives et pertinentes aux étudiants. Mais il ne s'agit pas seulement de réponses, le compagnon a encore plus pour but de guider les élèves dans leurs défis d'apprentissage quotidiens, avec des plans d'étude personnalisés, des quiz ou des éléments de contenu dans le chat et une personnalisation à 100% basée sur les compétences et les développements de l'étudiant.
Tu peux télécharger l'application dans Google Play Store et dans l'App Store d'Apple.
Oui, tu as un accès entièrement gratuit à tous les contenus de l'appli, tu peux chatter ou suivre les créateurs à tout moment. De plus, nous proposons Knowunity Premium, qui te permet de réviser sans limites!
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Google Play
L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
Stefan S
utilisateur iOS
Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
utilisatrice Android
Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
Anna
utilisatrice iOS
Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣
Thomas R
utilisateur d' Android
super application pour réviser je révise tout les soirs
Esteban M
utilisateur d'Android
Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
utilisateur d'Android
L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !
Sudenaz Ocak
utilisateur Android
Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.
Greenlight Bonnie
utilisateur Android
PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰
Khady
utilisatrice d'Android
Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!
Claire
utilisatrice iOS
C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩
Raoul
utilisateur IOS
Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands
Ella
utilisatrice iOS
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Emma. Pdn
@emma.pdn_ayex
Le théorème du point fixe et ses applications en analyse mathématique sont explorés, mettant l'accent sur la convergence des suites démonstration et la bijection et solution unique équations. Ces concepts fondamentaux sont essentiels pour résoudre des équations complexes et... Affiche plus
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Définition: Le théorème de bijection affirme que si une fonction est continue et strictement monotone sur un intervalle fermé [a,b], avec des limites La et Lb aux extrémités, alors pour tout y entre La et Lb, l'équation f(x) = y admet une unique solution dans [a,b].
L'exemple présenté concerne la fonction g(x) = 2x² - 3x - x² - 1 définie sur [0,5]. L'étude de cette fonction est divisée en deux parties : sur [0,1] et sur [1,5].
Exemple: Pour g(x) = 2x² - 3x - x² - 1 sur [0,5], on étudie sa monotonie et on applique le théorème de bijection pour résoudre g(x) = 0.
On calcule d'abord la dérivée de g pour déterminer ses variations. Ensuite, on analyse le comportement de g sur chaque sous-intervalle.
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Définition: Le théorème du point fixe stipule que si une fonction continue est définie sur un intervalle fermé et que son image est incluse dans cet intervalle, alors elle admet au moins un point fixe.
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Exemple: Pour la suite Un+1 = (Un + 2/Un)/2, on montre que la limite est √2 en utilisant le théorème du point fixe.
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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment
Leny
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Claire
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Ella
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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.
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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.
Samantha Klich
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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.
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Thomas R
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