Le théorème de bijection et son application

Cette page se concentre sur le théorème de bijection et son application à la résolution d'équations sur des intervalles spécifiques. Le théorème est d'abord énoncé, puis illustré par un exemple pratique.

Définition: Le théorème de bijection affirme que si une fonction est continue et strictement monotone sur un intervalle fermé [a,b], avec des limites La et Lb aux extrémités, alors pour tout y entre La et Lb, l'équation f$x$ = y admet une unique solution dans [a,b].

L'exemple présenté concerne la fonction g$x$ = 2x² - 3x - x² - 1 définie sur [0,5]. L'étude de cette fonction est divisée en deux parties : sur [0,1] et sur [1,5].

Exemple: Pour g$x$ = 2x² - 3x - x² - 1 sur [0,5], on étudie sa monotonie et on applique le théorème de bijection pour résoudre g$x$ = 0.

On calcule d'abord la dérivée de g pour déterminer ses variations. Ensuite, on analyse le comportement de g sur chaque sous-intervalle.

Highlight: L'étude de la monotonie d'une fonction est cruciale pour appliquer le théorème de bijection et résoudre des équations.

La conclusion montre que l'équation g$x$ = 0 admet une unique solution dans l'intervalle [1,5], démontrant ainsi la puissance du théorème de bijection pour résoudre des équations complexes.

Vocabulaire: Une fonction strictement monotone est une fonction qui est soit strictement croissante, soit strictement décroissante sur tout son domaine de définition.

Application du théorème du point fixe

Cette page présente l'application du théorème du point fixe à travers deux exemples concrets. Le premier exemple traite d'une suite définie par récurrence, tandis que le second aborde une fonction rationnelle.

Définition: Le théorème du point fixe stipule que si une fonction continue est définie sur un intervalle fermé et que son image est incluse dans cet intervalle, alors elle admet au moins un point fixe.

Dans le premier exemple, on considère une suite définie par Un+1 = g(Un), où g$x$ = $x + 2/x$/2. On admet que cette suite converge vers 1,41 pour tout réel strictement positif. Le théorème du point fixe est utilisé pour déterminer la limite précise.

Exemple: Pour la suite Un+1 = (Un + 2/Un)/2, on montre que la limite est √2 en utilisant le théorème du point fixe.

Le deuxième exemple traite d'une suite définie par Un+1 = f(Un), où f$x$ = $x + 2$/$x + 1$ sur l'intervalle [-1, +∞[. On démontre que cette suite est croissante et majorée, puis on utilise le théorème du point fixe pour trouver sa limite.

Highlight: La convergence d'une suite peut être prouvée en montrant qu'elle est monotone et bornée, puis en utilisant le théorème du point fixe pour déterminer sa limite.

Vocabulaire: Une suite monotone est une suite qui est soit toujours croissante, soit toujours décroissante.