une Arithmetique

Légende alternative :

unités est 0, - par 3, si la somme de ses chiffres est divisible par 3, - par 9, si la somme de ses chiffres est divisible par 9 - par 4, si le nombre formé par ses deux derniers chiffres est lui-même divisible par 4 Application Parmi les nombres 2, 3, 5, 9 et 10, déterminer les diviseurs de 456 Correction • 2 divise 456, car 456 est pair. . 3 divise 456 car 4 + 5 + 6 = 15 est divisible par 3. • 5 ne divise pas 456 car 456 ne se termine pas par 0 ou 5. • 9 ne divise pas 456 car 4 + 5 + 6 = 15 n'est pas divisible par 9. • 10 ne divise pas 456 car 456 ne se termine pas par 0 II - NOMBRE PREMIER Définition: Un nombre entier naturel est premier s'il possède exactement deux diviseurs qui sont 1 et lui-même. A connaître Liste des nombres premiers inférieurs à 30: 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, 29 Remarques : - Cette liste est infinie. - Le nombre 1 n'est pas premier car il n'a qu'un seul diviseur. Démontrer Dans la liste suivante, reconnaitre les nombres premiers : 6-11-15-5-23 Correction 6 = 2 × 3 donc 6 possède plus que deux diviseurs : 1; 2; 3; 6. 6 n'est pas un nombre premier. 11 est un nombre premier car il possède exactement deux diviseurs : 1 et 11. 15 = 3 x 5 donc 15 possède plus que deux diviseurs : 1; 3; 5; 15. 15 n'est pas un nombre premier. 23 est un nombre premier car il possède exactement deux diviseurs : 1 et 23. Décomposition d'un nombre en produit de facteurs premiers Comprendre : - 20 = 2 × 2 × 5 est une décomposition du nombre 20 en produit de facteurs premiers. En effet, chaque facteur de la décomposition est un nombre premier. Application : Décomposer 84 en produit de facteurs premiers. Correction On commence par tester si 84 est divisible par 2 (1er nombre premier). La réponse est « oui » car 84 se termine par un chiffre pair. Et on a : 84 2 42 On recommence, en testant si 42 est divisible par 2. La réponse est « oui » et 42 : 2 = 21 On recommence, en testant si 21 est divisible par 2. La réponse est << non >> ! On teste alors le nombre premier suivant dans la liste. Est-ce que 21 est divisible par 3. La réponse est « oui »>. Et on a : 21:3=7 7 est un nombre premier divisible uniquement par 1 et lui même. Et on a 7 : 7 = 1. C'est fini, on trouve 1 ! La décomposition en produit de facteurs premiers de 84 se lit dans la colonne de droite. 842 x 2 x 3 x7 84 321 | ²2 42 84 42 21 84 42 21 7 84 42 21 ~~ 2 2 223 2 7 III - APPLICATION AUX FRACTIONS 153 Exemple Simplifier- 85 Correction Pour simplifier une fraction, il faut décomposer son numérateur et son dénominateur en produit de facteurs premiers. 153 P 51 3 17 17 1 3 On a ainsi les décompositions de 153 et 85: 153 3 x 3 x 17 85 5 x 17 153 3x3x17 5x17 Donc :: 85 5 17 17 1 85 3x3 5 9|5