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Cours et Exercices: Variations et Dérivées d'une Fonction

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Manon Riviere

20/02/2022

Maths

Variation d’une fonction

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Maths

Cours et Exercices: Variations et Dérivées d'une Fonction

La dérivée d'une fonction est un concept fondamental en mathématiques, essentiel pour comprendre les variations des fonctions et leurs propriétés. Ce guide explore les formules de dérivées, les critères de croissance et décroissance, ainsi que l'équation de la tangente, offrant une base solide pour l'étude des fonctions et leurs applications.

  • Les formules de dérivées permettent de calculer la dérivée de diverses fonctions.
  • L'étude des variations d'une fonction utilise la dérivée pour déterminer sa croissance ou décroissance.
  • L'équation de la tangente offre une approximation linéaire de la fonction en un point donné.
  • Les extremums locaux sont identifiés grâce à l'étude de la dérivée.
...

20/02/2022

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Variation d'une fonction Equation de la Tangeante: y = f'(a)(x-a) + f(a) La fonction of est structement croissante si f'(x) > 0 La fonction

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Démonstrations et propriétés des fonctions dérivables

Cette page approfondit les propriétés des fonctions dérivables, en se concentrant particulièrement sur la démonstration de la décroissance stricte d'une fonction.

Definition: Une fonction strictement décroissante sur un intervalle I est définie par la propriété suivante : pour tout couple de réels (x, a) de I avec x < a, on a f(x) > f(a).

La démonstration utilise le taux de variation de la fonction entre deux points pour établir le lien entre la décroissance et le signe de la dérivée.

Highlight: Le taux de variation (f(x) - f(a)) / (x - a) est négatif pour une fonction strictement décroissante, ce qui conduit à la conclusion que f'(a) ≤ 0 par passage à la limite.

Cette approche rigoureuse permet de comprendre pourquoi le signe de la dérivée détermine le sens de variation de la fonction.

Example: Pour une fonction strictement décroissante, si x < a, alors f(x) > f(a), ce qui implique que x - a < 0 et f(x) - f(a) > 0. Inversement, si x > a, alors f(x) < f(a), impliquant que x - a > 0 et f(x) - f(a) < 0.

Cette démonstration renforce la compréhension du lien entre la dérivée et le comportement de la fonction, un concept crucial pour l'analyse des fonctions strictement monotones.

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Stefan S., utilisateur iOS

L'application est très simple à utiliser et bien faite. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais :D

Lola, utilisatrice iOS

J'adore cette application ❤️ Je l'utilise presque tout le temps pour réviser.

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342

•

20 févr. 2022

•

2 pages

Cours et Exercices: Variations et Dérivées d'une Fonction

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Manon Riviere

@manonriviere_zzgv

La dérivée d'une fonctionest un concept fondamental en mathématiques, essentiel pour comprendre les variations des fonctions et leurs propriétés. Ce guide explore les formules de dérivées, les critères de croissance et décroissance, ainsi que l'équation de la tangente, offrant... Affiche plus

Variation d'une fonction Equation de la Tangeante: y = f'(a)(x-a) + f(a) La fonction of est structement croissante si f'(x) > 0 La fonction

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Démonstrations et propriétés des fonctions dérivables

Cette page approfondit les propriétés des fonctions dérivables, en se concentrant particulièrement sur la démonstration de la décroissance stricte d'une fonction.

Definition: Une fonction strictement décroissante sur un intervalle I est définie par la propriété suivante : pour tout couple de réels (x, a) de I avec x < a, on a f(x) > f(a).

La démonstration utilise le taux de variation de la fonction entre deux points pour établir le lien entre la décroissance et le signe de la dérivée.

Highlight: Le taux de variation (f(x) - f(a)) / (x - a) est négatif pour une fonction strictement décroissante, ce qui conduit à la conclusion que f'(a) ≤ 0 par passage à la limite.

Cette approche rigoureuse permet de comprendre pourquoi le signe de la dérivée détermine le sens de variation de la fonction.

Example: Pour une fonction strictement décroissante, si x < a, alors f(x) > f(a), ce qui implique que x - a < 0 et f(x) - f(a) > 0. Inversement, si x > a, alors f(x) < f(a), impliquant que x - a > 0 et f(x) - f(a) < 0.

Cette démonstration renforce la compréhension du lien entre la dérivée et le comportement de la fonction, un concept crucial pour l'analyse des fonctions strictement monotones.

Variation d'une fonction Equation de la Tangeante: y = f'(a)(x-a) + f(a) La fonction of est structement croissante si f'(x) > 0 La fonction

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Variation d'une fonction et équation de la tangente

Cette page présente les concepts essentiels pour étudier les variations d'une fonction et déterminer l'équation de sa tangente. Elle commence par introduire l'équation de la tangente sous la forme y = f'(a)(x-a) + f(a), une formule cruciale pour approximer localement une fonction.

Définition: Une fonction strictement croissante est caractérisée par f'(x) > 0, tandis qu'une fonction strictement décroissante a f'(x) < 0. Une fonction est constante lorsque f'(x) = 0.

Les extremums locaux sont également abordés, avec la définition d'un minimum local où f(x) > f(x₂) et d'un maximum local où f(x) ≤ f(x₂).

Highlight: Pour "étudier les variations d'une fonction", il faut suivre ces étapes : dériver la fonction, calculer le discriminant, trouver les racines, et dresser le tableau de variation.

La page présente ensuite plusieurs formules de dérivées essentielles, incluant la dérivée d'un produit (u×v)' = u'v + uv', la dérivée d'un carré (u²)' = 2u'u, et la dérivée d'un quotient (u/v)' = (u'v - v'u) / v².

Example: L'approximation affine d'une fonction en un point a est donnée par f(a+h) ≈ f'(a)h + f(a), illustrant l'importance de la dérivée dans l'approximation locale des fonctions.

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L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

utilisateur iOS

Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

utilisatrice Android

Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

utilisatrice iOS

Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

utilisateur d' Android

super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

utilisateur d'Android

Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

utilisateur d'Android

L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

utilisateur Android

PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

utilisatrice d'Android

Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

utilisatrice iOS

C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

utilisateur IOS

Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS

L'application est très facile d'utilisation et bien conçue. Jusqu'à présent, j'ai trouvé tout ce que je cherchais et j'ai pu apprendre beaucoup de choses grâce aux présentations ! Je vais certainement utiliser l'application pour un travail en classe ! Et comme source d'inspiration personnelle, elle est bien sûr aussi très utile.

Stefan S

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Cette application est vraiment super. Il y a tellement de fiches de révision et d'aide, [...]. Par exemple, la matière qui me pose problème est le français et l'appli a un choix d'aide très large. Grâce à cette application, je me suis améliorée en français. Je la recommanderais à tout le monde.

Samantha Klich

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Waouh, je suis vraiment abasourdi. J'ai essayé l'application parce que je l'avais déjà vue plusieurs fois dans la publicité et j'ai été absolument choquée. Cette appli est L'AIDE dont on rêve pour l'école et surtout, elle propose tellement de choses, comme des rédactions et des fiches qui m'ont personnellement TRÈS bien aidé.

Anna

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Meilleur application je voulais m'entraîner pour mes maths puis j'ai tout compris d'un coup c'est mon nouveau prof maintenant 🤣🤣

Thomas R

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super application pour réviser je révise tout les soirs

Esteban M

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Permet de vraiment comprendre les cours sous forme de fiches de révisions déjà faites ! Incroyable, je recommande vraiment

Leny

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L'application est tout simplement géniale ! Il me suffit de taper mon sujet dans la barre de recherche et je le vérifie très rapidement. Je ne dois plus regarder 10 vidéos YouTube pour comprendre quelque chose et j'économise ainsi mon temps. Je te le recommande !

Sudenaz Ocak

utilisateur Android

Cette application m'a vraiment fait m'améliorer ! J'étais vraiment nul en maths à l'école et grâce à l'appli, je suis meilleur en maths ! Je suis tellement reconnaissante que vous ayez créé cette application.

Greenlight Bonnie

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PARFAIT 🌟 💕🔥 ça facilite Vrmt la révision avec des fiches de révisions fascinants✨🥰

Khady

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Je conseille vraiment ! je galère à avoir des cours clairs et ça aide énormément !!

Claire

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C’est vraiment mais vraiment la meilleurs appli au début de l’année au collège jetait une élève perturbatrice et j’avais 9 de moyenne générale plus précisément 9,68... Et la un de mes potes me donne cette appli pour réviser c’était incroyable y’a des fiche de révision des quiz bref grâce à cette appli je suis passé de 9,68 à 17,40 trop contente 🤩🤩

Raoul

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Knowunity est vraiment une application incroyable elle est pour tous les âges et s’adapte à tous les niveaux.Elle permet de mieux comprendre et apprendre. Cette application est super pour les devoirs et pour les contrôles je la recommande à tous le monde petit ou grands

Ella

utilisatrice iOS