Démonstrations et propriétés des fonctions dérivables

Cette page approfondit les propriétés des fonctions dérivables, en se concentrant particulièrement sur la démonstration de la décroissance stricte d'une fonction.

Definition: Une fonction strictement décroissante sur un intervalle I est définie par la propriété suivante : pour tout couple de réels (x, a) de I avec x < a, on a f(x) > f(a).

La démonstration utilise le taux de variation de la fonction entre deux points pour établir le lien entre la décroissance et le signe de la dérivée.

Highlight: Le taux de variation (f(x) - f(a)) / (x - a) est négatif pour une fonction strictement décroissante, ce qui conduit à la conclusion que f'(a) ≤ 0 par passage à la limite.

Cette approche rigoureuse permet de comprendre pourquoi le signe de la dérivée détermine le sens de variation de la fonction.

Example: Pour une fonction strictement décroissante, si x < a, alors f(x) > f(a), ce qui implique que x - a < 0 et f(x) - f(a) > 0. Inversement, si x > a, alors f(x) < f(a), impliquant que x - a > 0 et f(x) - f(a) < 0.

Cette démonstration renforce la compréhension du lien entre la dérivée et le comportement de la fonction, un concept crucial pour l'analyse des fonctions strictement monotones.