Les graphes

Les graphes sont des structures de données plus générales que les arbres, permettant de représenter des relations complexes entre éléments appelés sommets. Ils sont largement utilisés en informatique et en mathématiques pour modéliser divers problèmes.

Un graphe est composé de sommets (ou nœuds) reliés par des arêtes. Deux sommets reliés par une arête sont dits adjacents ou voisins. Il existe différents types de graphes :

• Graphe orienté : les arêtes ont une direction (représentées par des flèches)
• Graphe pondéré : les arêtes ont des valeurs associées

Définition: Un graphe est une structure composée de sommets et d'arêtes reliant ces sommets. Il permet de représenter des relations entre différents éléments.

Pour représenter un graphe, on peut utiliser :

1. Une matrice d'adjacence : tableau 2D où l'élément (i,j) indique s'il existe une arête entre les sommets i et j.

Exemple: Matrice d'adjacence pour un graphe à 6 sommets :

  A B C D E F
A 0 1 1 0 0 0
B 1 0 1 0 1 1
C 1 1 0 1 0 1
D 0 0 1 0 1 0
E 0 1 0 1 0 1
F 0 1 1 0 1 0

2. Des listes d'adjacence : pour chaque sommet, on liste ses voisins.

Exemple: Listes d'adjacence : A : [B, C] B : [A, C, E] C : [A, B, D, F] D : [C, F] E : [B, F] F : [B, C, D, E]

Quelques concepts importants liés aux graphes :

• Un graphe est complet si tous ses sommets sont reliés deux à deux par une arête.
• Une chaîne est une suite d'arêtes consécutives.
• La longueur d'une chaîne est le nombre d'arêtes qui la composent.
• La distance entre deux sommets est la longueur de la plus courte chaîne les reliant.
• Un cycle est une chaîne fermée qui commence et se termine par le même sommet.

Highlight: La maîtrise des graphes et de leurs représentations est essentielle en NSI Terminale pour résoudre des problèmes complexes d'optimisation et de modélisation.